Question

Доведіть, що при а≥0, b≥0, c≥0 виконується нерівність:
(а+15)(b+3)(с+5)≥120√a√b√c

Answer 1

використовуючи нерівність між середнім арифметичним двох чисел і їх  середнім геометричним
при $x geq 0; y geq 0$: $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$
маємо
$frac{a+15}{2} geq sqrt{15a}$
$frac{b+3}{2} geq sqrt{3b}$
$frac{c+5}{2} geq sqrt{5c}$
перемноживши відповідно ліві і праві частини останніх трьох нерівностей отримаємо
$frac{(a+15)(b+3)(c+5)}{2*2*2} geq sqrt{15a}*sqrt{3b}*sqrt{5c}$
$(a+15)(b+3)(c+5) geq 8* sqrt{15*3*5 abc}$
$(a+15)(b+3)(c+5) geq 8*15 sqrt{a} sqrt{b} sqrt{c}$
$(a+15)(b+3)(c+5) geq 120 sqrt{a} sqrt{b} sqrt{c}$
що й треба було довести . Доведено