Question

1) Доказать , что при каждом натуральном n числе
7^2n-4^2n делится на 33 
2) Доказать , что справедливо равенство 
1/1*5 + 1/5*9 + 1/9*13 + ... + 1/(4n-3)(4n+1) = n/4n+1
3) Решить уравнение 
(x+3) - (x-5) = x+1

Answer 1

1) надо знать формулы
     a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)                          a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
     a⁴+b⁴=(a+b)(a³-a²b+ab²-b⁴)                a⁴-b⁴=(a-b)(a³+a²b+ab²+b⁴)
   и по аналогии с ними уметь разложить
   $a ^{n}+b ^{n}=(a+b)(a ^{n-1}-a ^{n-2}b.... (-1) ^{n-1}b ^{n-1} )$
$a ^{n}-b ^{n}=(a-b)(a ^{n-1}+a ^{n-2}b.... +b ^{n-1} )$
$7 ^{2n}-4 ^{2n}=(7 ^{n}) ^{2}-(4 ^{n}) ^{2}=(7^{n}-4 ^{n})(7 ^{n}+4 ^{n})= \ =(7-4)(7 ^{n-1}+7 ^{n-2}cdot 4+... + 7cdot4 ^{n-2}+4 ^{n-1})cdot \ cdot(7+4)(7 ^{n-1}-7 ^{n-2}cdot 4+... + 7cdot4 ^{n-2}-4 ^{n-1})= \ =(7-4)(7+4)cdot F(n)=33cdot F(n)$
кратно 3
2) Доказательство методом математической индукции состоит из трех шагов
   - проверить выполнение для n = 1
$frac{1}{1cdot5}= frac{1}{1cdot5}$
-   предположить, что равенство верно для n=k
$frac{1}{1cdot 5}+ frac{1}{5cdot 9}+ ...+ frac{1}{(4k-3)(4k+1)}= frac{k}{4k+1}$
и используя это равенство, доказать, что и для следующего натурального  числа (k+1) , равенство верно
Т.е докажем, что
  $frac{1}{1cdot 5}+ frac{1}{5cdot 9}+...+ frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+ frac{1}{(4k+1)(4k+5)}= frac{k+1}{4k+5}$
Для доказательства берем левую часть последнего равенства и заменяем первые k слагаемых на сумму (правую часть предыдущего равенства):
$frac{1}{1cdot 5}+ frac{1}{5cdot 9}+...+ frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+ frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=frac{k}{4k+1}+ frac{1}{(4k+1)(4k+5)} =$
$= frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)} = frac{4k ^{2} +5k+1}{(4k+1)(4k+5)}= frac{(4k+1)(k+1)}{(4k+1)(4k+5)}= frac{(k+1)}{(4k+5)}$
верно.
Таким образом на основании принципа математической индукции равенство верно для любого натурального n
3)
(x+3) - (x-5) = x+1
x + 3 - x + 5 = x +1
   8 = x + 1
   x = 8 - 1
  x= 7

Answer 2

можете написать что указано на скриншотах , не отображает

Answer 3

Пожалуйста переделайте 3 , там модули а не скобки))

Answer 4

Рассматривают три случая 1) х≥-3 |x+3|=x+3 и х≥5 |x-5|=x-5 итог. х≥5 уравнение примет вид тот, что написан в решении. х=7 - корень , удовлетворяет условию 7≥5 2) х<-3 и х<5 итог х<-3 тогда |x+3|=-(x+3) |x-5|=-x+5 уравнение примет вид -х-3+х-5=х+1, х=-9 - корень, так как удовлетворяет условию -9<-3 3) х≥-3 тогда |x+3|=x+3, x<5 |x-5|=-x+5 Уравнение примет вид х+3+х-5=х+1, х=3 -корень, так как входит в [-3;5) 4) случай x<-3 и х ≥5 не будет иметь решений Множества не пересекаются

Answer 5

Исправить в решении можно в течении часа, сейчас только так или выставляйте новый вопрос