Question

Высота,опущенная на гипотенузу длиной с,делит её на две части.Одна из этих частей равна катету,не имеющему с ней общей вершины.Найдите катеты треугольника.

Answer 1

Дано:
с
AD=a
Найти: а, b
Решение:
Треугольники ADC  и ABC подобны. Тогда
a/b=b/c
Отсюда
b²=ac
С другой стороны, по т.Пифагора
b²=c²-a²
Значит
c²-a²=ac
a²-ca-c²=0
Решаем квадратное уравнение относительно переменной а
D=c²+4c²=5c²
√D=c√5
a=(c+c√5)/2 (второй корень не рассматриваем, т.к. он будет отрицательным: c√5>c)
Выразим и b через с
b²=ac=(c+c√5)/2*с=с²(1+√5)/2
$b= c sqrt{ frac{1+ sqrt{5} }{2} }$
Ответ:
$a=frac{c(1+ sqrt{5}) }{2};,b= c sqrt{ frac{1+ sqrt{5} }{2} }$