Question

Докажите что если в параллелограмме диагонали равны то параллелограмм является прямоугольником ?

Answer 1

Дано: АВСD - параллелограмм, АС=ВD

Доказать: АВСD - прямоугольник.

Доказательство: В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Т.к. диагонали равны, то ВО=ОС=АО=ОD (смотри рисунок).

ΔАВО и ΔОСD равнобедренные.

АВ=СD, ВО=ОС, АО=ОD ⇒ ΔАВО = ΔОСD (по трем сторонам)

Значит ∠ОВА=∠ВАО=∠ОСD=∠CDО=α.

ΔВОС и ΔАОD равнобедренные

ВС=АD, ВО=ОА, СО=OD ⇒ ΔВОС = ΔАОD (по трем сторонам)

Значит ∠CBO=∠BCO=∠OAD=ODA=β

∠СВА=α+β

∠ВАD=α+β

∠АDС=α+β

∠DСВ=α+β

В четырехугольнике сумма всех углов 360°.

∠СВА+∠ВАD+∠АDС+∠DСВ=(α+β)+(α+β)+(α+β)+(α+β)=4(α+β)=360°

4(α+β)=360°

α+β=360°:4

α+β=90°

∠СВА=α+β=90°

∠ВАD=α+β=90°

∠АDС=α+β=90°

∠DСВ=α+β=90°

Все углы в параллелограмме АВСD прямые, следовательноа АВСD – прямоугольник.