Question

Помогите пожалуйста решить!!!!!! Необходимо решение через 1 замечательный предел. Необходимо разложить числитель по формуле, но как ее применить, а потом вычислить предел я так и не поняла. Надеюсь на вашу помощь и подробное объяснение.

Answer 1

Первый замечательный предел  $lim_{xto 0}frac{sinx}{x}=1$
Вместо х может быть любая функция, стремящаяся к 0.
Из формулы тригонометрической единицы и косинуса двойного угла выведем формулу для вычисления разности 1 и косинуса.

$cos2 alpha =cos^2 alpha -sin^2 alpha =(1-sin^2 alpha )-sin^2 alpha =1-2sin^2 alpha ; to \\2sin^2 alpha =1-cos2 alpha ,\\Esli; 2alpha=3x,; to; frac{2 alpha }{2}= alpha =frac{3x}{2}; to ; 1-cos3x=2sin^2frac{3x}{2}$

$lim_{xto 0}frac{1-cos3x}{xcdot sin^2x}=lim_{xto 0}frac{2sin^2frac{3x}{2}}{xcdot sinxcdot sinx}=\\=2cdot lim_{xto 0}frac{(frac{sinfrac{3x}{2}}{frac{3x}{2}}cdot frac{2}{3x})cdot (frac{sinfrac{3x}{2}}{frac{3x}{2}}cdot frac{2}{3x})}{xcdot (frac{sinx}{x}cdot x)cdot (frac{sinx}{x}cdot x)}=\\=2cdot lim_{xto 0}frac{1cdot frac{2}{3x}cdot 1cdot frac{2}{3x}}{xcdot 1cdot xcdot 1cdot x}=2cdot lim_{xto 0}frac{4}{9x^5}=[2cdot frac{4}{0}]=[frac{8}{0}]=infty$

Если воспользоваться заменой эквивалентных бесконечнр малых величин, то будет всё проще записано и быстрее решено. 
sinx эквивалентен х, поэтому

$.....=lim_{xto 0}frac{2sin^2frac{3x}{2}}{xcdot sin^2x}=lim_{xto 0}frac{2cdot (frac{3x}{2})^2}{xcdot x^2}=lim_{xto 0}frac{9x^2}{2x^3}=\\=lim_{xto 0}frac{9}{2x}=[frac{9}{0}]=infty$