Question

Постройте график функции $y= sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }-1$

Answer 1

Область определения.
$y= sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }-1, \ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} geq 0, \ x-1 neq 0, x neq 1, \ x^2-3x+2=0, x_1=1, x_2=2, \ (x-1)^2(x-2) geq 0, \ x-2 geq 0, \ x geq 2, \ D_y=[2;+infty).$

Область значений.
$y=sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }-1, \ y+1=sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} } geq 0, \ y+1 geq 0, \ y geq -1, \ E_y=[-1;+infty).$

Функция общего вида, т.е. ни четная ни нечетная.

Нули функции.
$x=0notin D_y, \ y=0, sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }-1=0, \ sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }=1, \ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1}=1, \ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1}-1=0, \ frac{ x^{2} -3x+2-x+1}{x-1}=0, \ frac{ x^{2} -4x+3}{x-1}=0, \ x^2-4x+3=0, x_1=1notin D_y, x_2=3,\ (3;0).$

Промежутки знакопостоянства.
$ygtrless0, \ sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }-1gtrless0, \ sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }gtrless1, \ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1}gtrless1, \ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1}-1gtrless0, \ frac{ x^{2} -4x+3}{x-1}gtrless0, \ frac{(x-1)(x-3)}{x-1}gtrless0, \ (x-1)^2(x-3)gtrless0, \ x-3gtrless0, \ xgtrless3, \ 2<x<3, xin(2;3), y<0, \ x>3, xin(3;+infty), y>0.$

Производные функции.
$y=sqrt[4]{ frac{ x^{2} -3x+2}{x-1} }-1, \ y'=(( frac{ x^{2} -3x+2}{x-1})^{ frac{1}{4}}-1)' =(( frac{ x^{2} -3x+2}{x-1})^{ frac{1}{4}})'= \ =frac{1}{4} ( frac{ x^{2} -3x+2}{x-1})^{- frac{3}{4}}cdot frac{(x^{2} -3x+2)'(x-1)-(x^{2} -3x+2)(x-1)'}{(x-1)^2} = \ =frac{1}{4} ( frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}}cdot frac{(2x-3)(x-1)-(x^2 -3x+2)}{(x-1)^2} = \ =frac{1}{4} ( frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}}cdot frac{2x^2-5x+3-x^2 +3x-2}{(x-1)^2} =\ =$ $frac{1}{4} ( frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}}cdot frac{x^2-2x+1}{(x-1)^2}=frac{1}{4} (frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}}cdot frac{(x-1)^2}{(x-1)^2}=frac{1}{4} (frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}.$
$y''=(frac{1}{4} (frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}})'=frac{1}{4}cdot frac{3}{4} (frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{-frac{1}{4}}(frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})'= \ =frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{(x-1)'(x^{2} -3x+2)-(x-1)(x^{2} -3x+2)'}{(x^{2} -3x+2)^2}= \ =frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{x^{2} -3x+2-(x-1)(2x-3)}{((x-1)(x-2))^2}= \ =frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{x^{2} -3x+2-2x^2+5x-3}{(x-1)^2(x-2)^2}= \ =$ $=frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{-2x^2+2x-1}{(x-1)^2(x-2)^2}=frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{-(x-1)^2}{(x-1)^2(x-2)^2}=\ =-frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{1}{(x-2)^2}$

Критические точки.
$y'=0, frac{1}{4} ( frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}}=0, \ frac{x-1}{ x^{2} -3x+2}=0, \ x^{2} -3x+2 neq0,\ (x-1)(x-2) neq 0, \ x neq 1notin D_y, \ x neq 2; \ x=2, y= sqrt[4]{ frac{ 2^{2} -3cdot2+2}{2-1} }-1=sqrt[4]{4 -6+2}-1=sqrt[4]{0}-1=-1;\ (2;-1).$

Промежутки монотонности.
$y'gtrless0, frac{1}{4} (frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^{ frac{3}{4}}gtrless0, \ frac{1}{4} sqrt[4]{ (frac{x-1}{ x^{2} -3x+2})^3} >0, \ xin D_y, y'>0, ynearrow.$

Промежутки выпуклости-вогнутости.
$y''gtrless0, -frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{1}{(x-2)^2}gtrless0, \ (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}} geq 0, frac{1}{(x-2)^2}>0,\ -frac{3}{16} (frac{x^{2} -3x+2}{ x-1})^{frac{1}{4}}frac{1}{(x-2)^2}<0, \ xin D_y, y''<0, ysmallfrown.$

Answer 2

Функция ни четная ни нечетная, т.к. область определения несимметричная.

Answer 3

Возрастает и выпуклая вверх на всей области определения.

Answer 4

2<x<3 - график функции расположен ниже оси Ох, х>3 - график выше Ох

Answer 5

А yнаиб. и yнаим.?

Answer 6

Производная не меняет знак на всей области определения.