Question

1. Сократите дробь:
а). $frac{ x^{0,5}- x^{1,5} }{1-x}$
б). $frac{4- a^{ frac{2}{3} } }{2+ a^{ frac{1}{3} } }$
в). $frac{x- x^{ frac{5}{7} } }{ x^{ frac{4}{7} }-1 }$
г). $frac{1- m^{1,5} }{1+ m^{0,5}+m }$
д). $frac{x+ x^{ frac{2}{5} } }{ x^{ frac{6}{5} }-1 }$
е). $frac{1- b^{0,5}+b }{1+ b^{1,5} }$
2. а). Известно, что $f(x)= x^{ frac{2}{3} }, g(x)= x^{4}$
        Докажите, что $f(8 x^{2} )=4g(x)$
    б). Известно, что $f(x)= x^{ -frac{2}{3} }, g(x)= frac{1}{3} x^{-1}$
         Докажите, что $f(27 x^{3})= g^{2}(x)$
    в). Известно, что $f(x)=- x^{ frac{2}{3} }, g(x)= frac{9}{ x^{2} }$
         Докажите, что $f(9 x^{4})=-3g( x^{-3})$ 

Answer 1

1a. $frac{x^{0,5}-x^{1,5}}{1-x}= frac{x^{0,5}(1-x)}{1-x}=x^{0,5}$
1b. $frac{4-a^frac{2}{3}}{2+a^{frac{1}{3}}}= frac{2^2-(a^frac{1}{3})^2}{2+a^{frac{1}{3}}}=frac{(2-a^frac{1}{3})(2+a^frac{1}{3})}{2+a^{frac{1}{3}}}=2-a^frac{1}{3}$
1c. $frac{x-x^frac{5}{7}}{x^frac{4}{7}-1}= frac{x^frac{5}{7}(x^frac{2}{7}-1)}{(x^frac{2}{7})^2-1}= frac{x^frac{5}{7}(x^frac{2}{7}-1)}{(x^frac{2}{7}-1)(x^frac{2}{7}+1)}=frac{x^frac{5}{7}}{x^frac{2}{7}+1}$
1d. $frac{1-m^{1,5}}{1+m^{0,5}+m}= frac{1-(m^{0,5})^3}{1+m^{0,5}+m}=frac{(1-m^{0,5})(1+m^{0,5}+m)}{1+m^{0,5}+m}=1-m^{0,5}$
1e. $frac{x+x^frac{2}{5}}{x^frac{6}{5}-1}=frac{x^frac{2}{5}(x^frac{3}{5}+1)}{(x^frac{3}{5})^2-1}=frac{x^frac{2}{5}(x^frac{3}{5}+1)}{(x^frac{3}{5}-1)(x^frac{3}{5}+1)}=frac{x^frac{2}{5}}{x^frac{3}{5}-1}$
1f. $frac{1-b^{0,5}+b}{1+b^{1,5}}=frac{1-b^{0,5}+b}{1+(b^{0,5})^3}=frac{1-b^{0,5}+b}{(1+b^{0,5})(1-b^{0,5}+b)}=frac{1}{1+b^{0,5}}=$

$2a. f(x)=x^frac{2}{3}, g(x)=x^4; \ f(8x^6)=(8x^6)^frac{2}{3}=(2^3)^frac{2}{3}(x^6)^frac{2}{3}=2^2x^4=4x^4=4g(x); \ f(8x^6)=4g(x).$

$2b. f(x)=x^{-frac{2}{3}}, g(x)=frac{1}{3}x^{-1}; \ f(27x^3)=(27x^3)^{-frac{2}{3}}=(3^3x^3)^{-frac{2}{3}}=((3x)^3)^{-frac{2}{3}}=(3x)^{-2}=((3x)^{-1})^2=\ =(3^{-1}x^{-1})^2=(frac{1}{3}x^{-1})^2=g^2(x); \ f(27x^3)=g^2(x).$

$2c. f(x)=-x^frac{2}{3}, g(x)=frac{9}{x^2}; \ f(9x^4)=-(9x^4)^frac{2}{3}=-(3^2x^4)^frac{2}{3}=- 3^frac{4}{3}x^frac{8}{3}\ -3g( x^{-3})=-3cdotfrac{9}{( x^{-3})^2}=-frac{27}{x^{-6}}=-27x^6.$