Question

Найти сумму ряда:
$x+2x^2+...+nx^n+...$
если x по модулю меньше 1/2

Answer 1

Рассмотрим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
$x+ x^{2} + x^{3}+ ... + x^{n}+ ...= frac{x}{1-x}$
Найдем производную
$(x+ x^{2} +x ^{3} +...+x ^{n}+...)`= (frac{x}{1-x}) `$
$1+2x+3 x^{2} +...+nx ^{n-1} +...= frac{1-x-x(-1)}{(1-x) ^{2} } , \ x(1+2x+3 x^{2} +...+nx ^{n-1} +...)=xcdotfrac{1-x-x(-1)}{(1-x) ^{2} } , \ x+2x ^{2} +3 x^{ 3} +...+nx ^{n} +...=frac{x}{(1-x) ^{2} }$