Question

Логарифмические уравнения.

Answer 1

$log_2^2x-10log_2x+16=( sqrt{16-x^2})^2+x^2 \ log_2^2x-10log_2x+16=|16-x^2}|+x^2$
Учитывая покоренное и подлогарифмическое выражения в исходном уравнении раскрываем модуль без смены знака
$log_2^2x-10log_2x+16=16 \ log_2^2x-10log_2x=0 \ log_2x(log_2x-10)=0 \ log_2x=0 \ x=2^0=1 \ log_2x=10 \ x=2^{10}=1024$
При подстановке корня х=1024 в исходное уравнение получаем отрицательное подлогарифмическое выражение - следовательно, это посторонний корень
Ответ: 1

$log_2^2x-4log_2x+4= frac{ sqrt{x-8} }{ sqrt{x-8}} \ (log_2x-2)^2= 1 \ log_2x-2= 1 \ log_2x=3 \ x=2^3=8 \ log_2x-2=- 1 \ log_2x=1 \ x=2^1=2$
Однако при х=2 квадратный корень не определен, а при х=8 деление на ноль невозможно
Ответ: нет корней

$4log_6(3- frac{3}{2x+3})-4=5log_6(2+ frac{1}{x+1} ) \ log_6( frac{3(2x+3)-3}{2x+3})^4-4log_66=log_6( frac{2(x+1)+1}{x+1} )^5 \ log_6( frac{6x+6}{2x+3})^4-log_66^4=log_6( frac{2x+3}{x+1} )^5 \ log_6( frac{6x+6}{6(2x+3)})^4=log_6( frac{2x+3}{x+1} )^5 \ log_6( frac{x+1}{2x+3})^4=log_6( frac{2x+3}{x+1} )^5 \ ( frac{x+1}{2x+3})^4=( frac{2x+3}{x+1} )^5 \ (2x+3)^9=(x+1)^9 \ 2x+3=x+1 \ x=-2$
При подстановке корня в исходное уравнение получается верное равенство
Ответ: -2

Свойство: $b^{log_ac}=c^{log_ab}$
$x^{lg25}+25^{lg x}=10 \ 25^{lg x}+25^{lg x}=10 \ 2cdot25^{lg x}=10 \ 25^{lg x}=5 \ 5^{2lg x}=5 \ 2lg x=1 \ lg x= frac{1}{2} \ x= sqrt{10}$
Ответ: $sqrt{10}$

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю когда оба эти числа равны нулю
$log_3^2(x-7)+ sqrt{(x-7)(x-8)} =0 \ log_3^2(x-7)=0 \ log_3(x-7)=0 \ 3^0=x-7 \ x-7=1 \ x=8 \ sqrt{(x-7)(x-8)}=0 \ (x-7)(x-8)=0 \ x_1=7; x_2=8$
Общим корнем для двух уравнений будет число 8
Ответ: 8

$x^{log_7x-3}= frac{1-log_7x}{49-49log_7x} \ x^{log_7x-3}= frac{1-log_7x}{49(1-log_7x)} \ x^{log_7x-3}= frac{1}{49} =7^{2} \ log_7x^{log_7x-3}=log_77^{2} \ (log_7x-3)log_7x=-2 \ log_7^2x-3log_7x+2=0 \ (log_7x-2)(log_7x-1)=0 \ log_7x=2; x=7^2=49 \ log_7x=1; x=7^1=7$
Наименьшим их полученных корней является число 7, однако в при подстановке его в исходное уравнение получаем деление на ноль. При  подстановке корня х=49 получаем верное равенство
Ответ: 49

$(x^2-x-2)log_7(1-x^2-3x)=0 \ x^2-x-2=0 \ (x-2)(x+1)=0 \ x_1=2; x_2=-1 \ log_7(1-x^2-3x)=0 \ 1-x^2-3x=7^0=1 \ x^2+3x=0 \ x(x+3)=0 \ x_3=0; x_4=-3$
ОДЗ логарифма:
$1-x^2-3x >0 \ x^2+3x-1 <0 \ x^2+3x-1=0 \ D=3^2+4=13 \ x= frac{-3pm sqrt{13} }{2} \ xin(frac{-3-sqrt{13} }{2} ; frac{-3+sqrt{13} }{2} ) \ xin(-approx3.3;approx0.3)$
Следовательно корень х=2 - посторонний
$x_2+x_3+x_4=-1+0-3=-4$
Ответ: -4

$log_4(x^2-2x+1)cdot ctg pi x=0 \ log_4(x-1)^2cdot ctg pi x=0 \ log_4(x^2-2x+1)=0 \ x^2-2x+1=4^0=1 \ x^2-2x=0 \ x(x-2)=0 \ x_1=0; x_2=2 \ ctg(2 pi )=ctg0 neq$
При тех значениях х когда логарифмическая функция обращается в ноль функция котангенса не определена.
$ctg pi x=0 \ pi x= frac{ pi }{2} + pi n \ x= frac{1}{2} +n, nin Z$
Так как логарифм опредлен при всех значениях х≠1, то все значения х=1/2+n (где n - целые числа) удовлетворяют условию
Ответ: 1/2+n, где n - целые числа

Answer 2

Решено верно)) ответы совпали)

Answer 3

Спасибо)) Ну, в этом человеке я уверена, поэтому не сомневалась)

Answer 4

1)(log(2)x)²-10log(2)x+16=/16-x²/+x²
ОДЗ x>0
(log(2)x)²-10log(2)x+16=16-x²+x²=16
(log(2)x)²-10log(2)x=0
log(2)x(log(2)x- 10)=0
log(2)x=0⇒x=1
log(2)x=10⇒x=1024
Проверка
х=1  (log(2)1)²-10log(2)1+16=/16-1/+1⇒0-10*0+16=16⇒16=16
х=1024    (log(2)1024)²-10log(2)1024+16=/16-1024²/+1024²⇒16≠-16+2*1024²
Ответ х=1

2)(log(2)x)²-4log(2)x+4=$sqrt{x-8} / sqrt{x-8}$
ОДЗ x>0 U x>8⇒x>8
(log(2)x)²-4log(2)x+4=1
(log(2)x - 2)²=1
log(2)x - 2=1 или log(2)x - 2=-1
log(2)x =3  или  log(2)x =1
х=8∉ОДЗ  или х=2∉ОДЗ
Ответ решения нет

3)4log(6)[3 -3/(2x+3)]^4 -4=log(6)[(2 +1/(x+1)]^5
4log(6)[6(x+1)/(2x+3)]^4 -4=log(6)[(2x+3)/(x+1)]^5
ОДЗ  (х+1)/(2х+3)>0
x=-1  x=-1,5
       +            _                +
-------------------------------------------
           -1,5                -1
x∈(-∞;-1,5) U (-1;∞)
(х+1)/(2х+3)=a
log(6) (6a)^4-log(6)6^4=log(6)(1/a)^5
log(6)a^4=log(6)(1/a)^5
a^4=1/a^5
a^9=1⇒a=1⇒(х+1)/(2х+3)=1⇒x+1=2x+3⇒2x-x=1-3⇒x=-2
Ответ х=-2

4)$x^{lg25} + 25^{lgx} =10$
$25^{lgx}+ 25^{lgx} =10$⇒2*$25^{lgx} =10$⇒$25^{lgx} =5$⇒
$5^{2lgx} =5$⇒2lgx=1⇒lgx=1/2⇒x=√10
Ответ х=√10

5)[log(3)(x-7)]²+$sqrt{(x-8)(x-7)} =0$
ОДЗ  x>7
Сумма положительных равна 0,если каждое слагаемое равно 0
[log(3)(x-7)]²=0⇒log(3)(x-7)=0⇒x-7=1⇒x=8
(x-7)(x-8)=0⇒x=7∉ОДЗ или х=8
Ответ х=8

6)$x^{log(7)x - 3} =(1-log(7)x/(49-49log(7)x)$
$x^{log(7)x - 3} =(1-log(7)x)/49(1-log(7)x=1/49= 7^{-2}$
ОДЗ x>0 U 1-log(7)x≠0⇒log(7)x≠1⇒x≠7⇒x∈(0;7) U (7;∞)
Прологарифмируем обе части
$log(7) x^{log(7)x - 3} =log (7) 7^{-2}$
(log(7)x - 3)(log(7)x=-2
[log(7)x]²-3log(7)x+2=0
log(7)x=a
a²-3a+2=0⇒a1+a2=3 U a1*a2=2
a1=1⇒log(7)x=1⇒x=7∉ОДЗ
а2=2⇒log(7)x=2⇒x=49
Ответ х=49

7)(x²-x-2)*log(7)(1-x²-3x)=0
ОДЗ 1-х²-3х>0
x²+3x-1<0
D=9+4=13
x1=(-3-√13)/2 u x2=(-3+√13)/2⇒x∈((-3-√13)/2;(-3+√13)/2)
1)x²-x-2=0  или 2)log(7)(1-x²-3x)=0
1)x1+x2=1 U x1*x2=-2⇒x1=-1 или х=-2∉ОДЗ
2)1-х²-3х=1⇒х²+3х=0⇒х(х+3)=0⇒х=0 или х=-3
-1+0-3=-4-сумма корней
Ответ -4

8)log(4)(x²-2x+1)*ctgπx=0
1)log(4)(x²-2x+1)=0  или ctgπx=0
1)log(4)(x-1)²=0
ОДЗ х≠1
(х-1)²=1
х-1=1 или  х-1=-1
х=2  или  х=0
2)ctg2π и ctg0 не существуют,значит решением могут быть только решения уравнения ctgπx=0⇒πx=π/2+πn⇒x=1/2+n
Ответ x=1/2+n,n∈Z