Question

Найти предел ф-ции. С пошаговым решением пожалуйста. 

Answer 1

$1); lim_{xto 0}frac{sin5x}{tgx}=[frac{0}{0}]=lim_{xto 0}(frac{sin5x}{5x}cdot frac{x}{tgx}cdot frac{5x}{x})=1cdot 1cdot 5=5\\2)lim_{xto infty}(1+frac{10}{x})^{x}=[1^{infty}]=lim((1+frac{10}{x})^{frac{x}{10}})^{10}}=lim_{xto infty} e^{10}=e^{10}\\lim_{f(x)to infty}(1+frac{1}{f(x)})^{f(x)}=e\\3)lim_{xto infty}(frac{x^2+1}{x^2})^{x^2+1}=lim ((1+frac{1}{x^2})^{x^2}cdot (1+frac{1}{x^2}))=\\=lim _{xto infty}(ecdot (1+frac{1}{x^2}))=ecdot 1=e$

$4); lim _{xto infty}frac{sqrt{4x^2+1}-x}{3x+5}=limfrac{(sqrt{4x^2+1}-x)(sqrt{4x^2+1}+x)}{(3x+5)(sqrt{4x^2+1}+x)}=\\=limfrac{4x^2+1-x^2}{(3x+5)(sqrt{4x^2+1}+x)}=lim frac{3x^2+1}{(3x+5)(sqrt{4x^2+1}+x)}=[delim; na; x^2]=\\=limfrac{frac{3x^2+1}{x^2}}{frac{3x+5}{x}cdot (sqrt{frac{4x^2+1}{x^2}}+frac{1}{x})}lim frac{3+frac{1}{x^2}}{(3+frac{5}{x})(sqrt{4+frac{1}{x^2}}+1)}}=[frac{1}{x^2}to 0,frac{5}{x}to 0]=frac{3}{3cdot 2}=frac{1}{2}$