Question

Косинусы двух углов треугольника равны 1/3 и 2/3. Найдите синус третьего угла

Answer 1

$cosa = frac{1}{3}$

$cosb = frac{2}{3}$

$sinc = ?$

$sin^2x+cos^2x=1$

$sinx= sqrt{(1-cos^2x)}$

$sina= sqrt{1- frac{1}{9} } = sqrt{ frac{8}{9} } = frac{ sqrt{8} }{3} = frac{2 sqrt{2} }{3}$

$sinb= sqrt{(1- frac{4}{9} )}= sqrt{ frac{5}{9} } = frac{ sqrt{5} }{3}$

$cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny$

$cos(a+b)= frac{1}{3}* frac{2}{3} -frac{2 sqrt{2} }{3}*frac{ sqrt{5} }{3}= frac{2-2 sqrt{10} }{9}$

$cos(x-y)=cosx*cosy+sinx*siny$

$cos(180-c)=cos(180)*cosc+sin(180)*sinc=-1*cosc+0*sinc=-cosc$

$a+b+c=180$

$cos(a+b) = cos(180-c)$

$cosc = - frac{2-2 sqrt{10} }{9}$

$sinc=sqrt{1- (frac{2-2 sqrt{10} }{9})^{2} }=sqrt{1- frac{(2-2 sqrt{10} )^{2}}{81} }= sqrt{ frac{81-(2-2 sqrt{10})^{2} }{81} } =$

$=frac{sqrt{ 81-(2-2 sqrt{10})^{2} }}{9}= frac{ sqrt{81-(4-8 sqrt{10}+4*10) } }{9} = frac{ sqrt{37+8 sqrt{10} } }{9}=$

$=frac{ sqrt{32+8 sqrt{10} + 5 } }{9}=frac{ sqrt{16*2+8 sqrt{2}sqrt{5} + 5 } }{9}=frac{ sqrt{(4sqrt{2})^{2}+2*4 sqrt{2}sqrt{5} + sqrt{5}^{2} } }{9}=$

$=frac{ (sqrt{(4sqrt{2}+ sqrt{5})^{2} } }{9}=frac{ 4sqrt{2}+ sqrt{5} }{9}$

Ответ:

$sinc=frac{ 4sqrt{2}+ sqrt{5} }{9}$