Question

В прямоугольном треугольнике ABC, катеты ab-8, cb=6, на гипотенузе AC отмечена точка K, так ,что треугольник abk равнобедренный. Найдите радиус окружности описанной около треугольника ABK.

Answer 1

АВС - египетский треугольник (подобный треугольнику со сторонами 3,4,5), поэтому для угла САВ = Ф

sinФ = 3/5; cosФ = 4/5;

Треугольник АВК равнобедренный. Это возможно в двух случаях:

1. АК = ВК; в этом случае точка К лежит в середине АС (медиана равна половине гипотенузы), и ВК = АК = 5;

Тогда по теореме синусов 2*R*sinФ = 5;

R = 25/6;

2. AB = AK = 8; в этом случае надо найти ВК. По теореме косинусов

BK^2 = 8^2 + 8^2 - 2*8*8*cosB = 8^2*2*(1 - 4/5) = 8^2*2/5;

По теореме синусов ВК = 2*R*sinФ = R*6/5;

R = (5/6)*8*корень(2/5) = (4/3)*корень(10);