Question

Высшая математика! Найти приделы ф-ции. С полным ходом решения пожалуйста. 

Answer 1

Найти пределы функций:$lim_{x->0}frac{sqrt{2-x}-sqrt{2}}{x}; lim_{x->3}frac{9-x^{2}}{sqrt{3x}-3}; lim_{x->5}frac{2-sqrt{x-1}}{x^{2}-25}; lim_{x->6}frac{sqrt{x-2}-2}{x-6};$

$lim_{x->0}frac{sqrt{1+4x}-1}{x}$

Решение:
$lim_{x->0}frac{sqrt{2-x}-sqrt{2}}{x}=lim_{x->0}frac{(sqrt{2-x}-sqrt{2})(sqrt{2-x}+sqrt{2})}{x(sqrt{2-x}+sqrt{2})}=$

$=lim_{x->0}frac{2-x-2}{x(sqrt{2-x}+sqrt{2})}=lim_{x->0}frac{-x}{x(sqrt{2-x}+sqrt{2})}=-lim_{x->0}frac{1}{sqrt{2-x}+sqrt{2}}=$

$=-frac{1}{2sqrt{2}}$

$lim_{x->3}frac{9-x^{2}}{sqrt{3x}-3}=lim_{x->3}frac{(9-x^{2})(sqrt{3x}+3)}{(sqrt{3x}-3)(sqrt{3x}+3)}=$

$=lim_{x->3}frac{(9-x^{2})(sqrt{3x}+3)}{3x-9}=lim_{x->3}frac{(3-x)(3+x))(sqrt{3x}+3)}{3(x-3)}=$

$=-lim_{x->3}frac{(3+x)(sqrt{3x}+3)}{3}=-frac{(3+3)(sqrt{3*3}+3))}{3}=-12$

$lim_{x->5}frac{2-sqrt{x-1}}{x^{2}-25}=lim_{x->5}frac{(2-sqrt{x-1})(2+sqrt{x-1})}{(x^{2}-25)(2+sqrt{x-1})}=$

$=lim_{x->5}frac{4-x+1}{(x^{2}-25)(2+sqrt{x-1})}=lim_{x->5}frac{5-x}{(x-5)(x+5)(2+sqrt{x-1})}=$

$=-lim_{x->5}frac{1}{(x+5)(2+sqrt{x-1})}=-frac{1}{(5+5)(2+sqrt{5-1})}=-frac{1}{40}$

$lim_{x->6}frac{sqrt{x-2}-2}{x-6}=lim_{x->6}frac{(sqrt{x-2}-2)(sqrt{x-2}+2)}{(x-6)(sqrt{x-2}+2)}=lim_{x->6}frac{x-2-4}{(x-6)(sqrt{x-2}+2)}$

$=lim_{x->6}frac{x-6}{(x-6)(sqrt{x-2}+2)}=lim_{x->6}frac{1}{sqrt{x-2}+2}=frac{1}{sqrt{6-2}+2}=frac{1}{2+2}=frac{1}{4}$

$lim_{x->0}frac{sqrt{1+4x}-1}{x}=lim_{x->0}frac{(sqrt{1+4x}-1)(sqrt{1+4x}+1)}{x(sqrt{1+4x}+1)}=lim_{x->0}frac{1+4x-1}{x(sqrt{1+4x}+1)}$

$=lim_{x->0}frac{4x}{x(sqrt{1+4x}+1)}=lim_{x->0}frac{4}{sqrt{1+4x}+1}=frac{4}{sqrt{1+4*0}+1}=2$

Answer 2

Очень помогли, спасибо огромное. Выручили)