Question

Помогите пожалуйста  20.14 б, г

Answer 1

б) $(2sinx-cosx)(1+cosx)=sin^{2}x$ - раскрыть скобки
$2sinx-cosx+2sinx*cosx-cos^{2}x-sin^{2}x=0$ - привести подобные
$2sinx-cosx+2sinx*cosx-(cos^{2}x+sin^{2}x)=0$
$2sinx-cosx+2sinx*cosx-1=0$
$(2sinx+2sinx*cosx)-(cosx+1)=0$ - перегруппировали
$2sinx*(1+cosx)-(cosx+1)=0$
$(2sinx-1)*(1+cosx)=0$
$2sinx-1=0$
$sinx=0.5$
$x= frac{ pi }{6}+2 pi k$, k∈Z 
$x= frac{5pi }{6}+2 pi k$, k∈Z
$cosx=-1$
$x=pi+2 pi k$, k∈Z
Чтобы найти корни, принадлежащие указанному промежутку, нужно найти такие k:
$- 2pi leq pi+2 pi k leq 0$
$-1 leq 2 pi k leq 0$
$0 leq k leq 1$, k=-1, 0
$x=pi-2 pi=- pi$
$x= pi$

$- pi leq frac{ pi }{6}+2 pi k leq pi$
$-frac{ 7pi }{6} leq 2 pi k leq frac{ 5pi }{6}$
$-frac{ 7}{12} leq k leq frac{ 5}{12}$, k=0
$x= frac{ pi }{6}$

$- pi leq frac{ 5pi }{6}+2 pi k leq pi$
$- frac{11}{12} leq k leq frac{1}{12}$, k=0
$x= frac{5 pi}{6}$

Сумма всех корней: $frac{5 pi}{6}+ pi - pi +frac{pi}{6}= pi$- ответ

г) $tg2x*sinx+ sqrt{3}*(sinx- sqrt{3}*tg2x)=3 sqrt{3}$
$tg2x*sinx+ sqrt{3}*sinx- 3tg2x=3 sqrt{3}$
$(tg2x*sinx-3tg2x)+(sqrt{3}*sinx-3 sqrt{3})=0$
$tg2x*(sinx-3)+sqrt{3}(sinx-3)=0$
$(tg2x+sqrt{3})*(sinx-3)=0$
$tg2x+sqrt{3}=0$
$tg2x=-sqrt{3}$
$2x= -frac{ pi }{3}+ pi k$
$x=-frac{ pi }{6}+ frac{pi k}{2}$
$sinx=3>1$ - нет решений.
$- pi leq -frac{ pi }{6}+ frac{pi k}{2} leq pi$
$-frac{5pi}{6} leq frac{pi k}{2} leq frac{7 pi }{6}$
$-frac{5}{3} leq k leq frac{7}{3}$, k=-1, 0, 1, 2
$x=-frac{ pi }{6}- frac{pi}{2}=-frac{4pi}{6}=-frac{2pi}{3}$
$x=-frac{ pi }{6}$
$x=-frac{ pi }{6}+ frac{pi}{2}=frac{pi}{3}$
$x=-frac{ pi }{6}+ frac{2pi}{2}=frac{5pi}{6}$
Сумма корней: $-frac{2pi}{3}-frac{pi}{6}+frac{pi}{3}+frac{5pi}{6}=frac{-4pi-pi+2pi+5 pi}{6}=frac{2pi}{6}=frac{pi}{3}$ - ответ