Question

помогите решить lim х стремяшиеся к бесконечности (1+1/3х)^х

Answer 1

Это второй замечательный предел:

Нужно только сделать некоторые преобразования:

Сделаем замену t=3x

Поскольку $x->infty$ то и $3x ->infty$

Перепишем наш предел с учетом этой замены:

$lim_{t to infty} (1+frac{1}{t})^{frac{t}{3}}= \ =lim_{t to infty} ((1+frac{1}{t})^{t})^{frac{1}{3}}$ 

Поскольку известно что:

$lim_{t to infty} (1+frac{1}{t})^{t}=e$ 

то

 $lim_{t to infty} ((1+frac{1}{t})^{t})^{frac{1}{3}}=e^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{e}$

 

 Ответ: $lim_{x to infty} (1+frac{1}{3x})^x=sqrt[3]{e}$

Answer 2

$lim_{x to infty} (1+frac{1}{3x})^x={frac{1}{3x}=frac{1}{a}, a=3x, x=frac{1}{3}a, x to infty, a to infty } = \ lim_{x to infty} (1+frac{1}{a})^{frac{1}{3}a}=lim_{x to infty} ((1+frac{1}{a})^a)^{frac{1}{3}}= \ (lim_{x to infty} (1+frac{1}{a})^a)^{frac{1}{3}}=e^{frac{1}{3}}$