Question

В трапеции АВСD площадью S = 27 см2 основание ВС в два раза меньшеоснования АD. Точка М делит боковую сторону трапеции АВ вотношении 1:1, а точка N делитбоковую сторону СD в отношении 1:2,считая от точки С. Отрезки AN и DM пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОD.

Answer 1

Продолжим  боковые стороны до точки пересечения T. (Выходит что BC средняя линия треугольника ATD)
Проведем FO||AT ,OL||TD.  Откуда  подобны  треугольники:
ATD и FOL,AMD и FOD,AND и AOL.
Откуда верны отношения:
FO/4y=LO/6z=FL/AD    
FO/y=(FL+LD)/AD=OD/MD;  FO/4y=(FL+LD)/4AD
LO/2z=(FL+AF)/AD ; LO/6z=(FL+AF)/3AD
(FL+LD)/4AD=FL/AD
FL+LD=4FL
LD=3FL
(FL+AF)/3AD=FL/AD
FL+AF=3FL
AF=2FL
OD/MD=(FL+LD)/(AF+FL+LD)=4FL/(6FL)=2/3
Проведем  диагональ BD.
Треугольники  ABD и BDC имеют одинаковые высоты,  равные высоте трапеции. То  есть  их  площади относятся  как  основы  трапеции:
SBCD=SABD/2 (в сумме они  дают площадь трапеции)
27cм^2=SABD+SABD/2=3SABD/2
SABD=18cм^2
Треугольники  ABD и AMD имеют общую  высоту,то  их площади тоже относятся как  их основы (AM и AB):
SAMD=SABD/2=9cм^2
Ну  и наконец  треугольники AMD и AOD тоже имеют общую  высоты,то  их площади тоже относятся как основы (OD и MD).
Из выше  показанного:OD/MD=2/3
Откуда: SAOD=2SAMD/3=18/3=6cм^2
Ответ:SAOD=6cм^2
Я  не  гарантирую ,что  это самый  простой путь решения.
Я  даже на 100  процентов  уверен,что  есть способ попроще.

Answer 2

Да, можно проще. Продолжить отрезки AN и DM до пересечения с прямой ВС в точках Р и Q соответственно. Пусть меньшее основание ВС= b, тогда АD = 2b, высота трапеции равна h. По условию S=27, отсюда bh=18. Треугольники PBM и AMD равны, отсюда РB=2b. Треугольники AND и подобны, отсюда CQ=b. Имеем: PQ=4b. Треугольники POQ и AOD подобны, коэффициент подобия равен 2, это значит, что высота AOD равна 1/3h.Из чего получаем, что площадь этого треугольника равна 6.