Question

Помогите решить :
1. При каких значениях а уравнение sin ^2 x - (a+3) sin x + 3a = 0 не имеет решений ?
2. Решите уравнение cos ^2 x + cos 4x = a , если одно из его решений п/3

Answer 1

1. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.
$sin^2x-(a+3)sin x+3a=0\sin x=t,;sin^2x=t^2,;-1leq tleq1\t^2-(a+3)t+3a=0\D=(-(a+3))^2-4cdot1cdot3a=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2\(a-3)^2<0$
Последнее неравенство не имеет решений. Значит, исходное уравнение имеет решение (-ия) при любых а.

$2.;cos^2x+cos4x=a\cos4x=8cos^4x-8cos^2x+1\cos^2x+8cos^4x-8cos^2x+1=a\8cos^4x-7cos^2x+(1-a)=0\cos^2x=t,cos^4x=t^2,;0leq tleq1\8t^2-7t+(1-a)=0\D=49-4cdot8cdot(1-a)=49-32+32a=17+32a\t_{1,2}=frac{7pmsqrt{17+32a}}{16}$
Один из корней п/3, значит $x=fracpi3Rightarrowcos x=frac12Rightarrowcos^2x=t=frac14$
$frac{7pmsqrt{17+32a}}{16}=frac14Rightarrowbegin{cases}frac{7+sqrt{17+32a}}{16}=frac14\frac{7-sqrt{17+32a}}{16}=frac14end{cases}Rightarrowbegin{cases}{7+sqrt{17+32a}}=4\{7-sqrt{17+32a}}=4end{cases}Rightarrow$
$Rightarrowbegin{cases}sqrt{17+32a}=-3\sqrt{17+32a}=3end{cases}Rightarrow 17+32a=9Rightarrow32a=-8Rightarrow a=-frac14=-0,25\t_1=frac{7+sqrt{17-32cdot0,25}}{16}=frac{7+sqrt{9}}{16}=frac{10}{16}=frac58\t_2=frac{7-sqrt{17-32cdot0,25}}{16}=frac{7-sqrt{9}}{16}=frac{4}{16}=frac14\cos^2x=frac14Rightarrowcos x=frac12Rightarrow x=fracpi3+2pi n,;ninmathbb{Z}\cos^2x=frac58Rightarrowcos x=sqrt{frac58}Rightarrow x=arccosleft(sqrt{frac58}right)+2pi n,;ninmathbb{Z}$