Question

Докажите, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов.

Answer 1

Пусть a, b - катеты, с - гипотенуза.
1) В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:
$r= frac{a+b-c}{2}$
Значит диаметр вписанной окружности равен: $d=2r=2*frac{a+b-c}{2}=a+b-c$
2) Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен:
$R=frac{c}{2}$
Значит диаметр описанной окружности равен: $D=2R=2*frac{c}{2}=c$
3) Сумма диаметров: $D+d=c+(a+b-c)=c+a+b-c=a+b$ - сумма катетов.
Т.е. сумма диаметров вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов, что и требовалось доказать.