Question

Предел функции, помогите пожалуйста

b9e753f6c52630be99a8d96d58d3c199.pdf

Answer 1

9)
lim(х^1/3) = 3  ε = 1
x->27
В соответствии с определением предела можно записать
|f(x) − L| < ε, если |x−27| < δ
f(x) = (х^1/3); L =3

Подставляя f (x) и ε, получаем
|(х^1/3) -3| < 1
-1 < (х^1/3) -3 <  1
-1+3< (х^1/3) -3 <  1+3
  2 < (х^1/3) <  4
возведём в степень 3 все части неравенства
2³ < (х^1/3)³ <  4³
8 < х <  64
вычтим 27 из всех частей неравенства
8-27 < х-27 <  64-27
-19 < х-27 <  37
что эквивалентно неравенству
|х-27| < 19
Мы нашли для числа ε = 1 число δ = 19 , такое что выполняется
неравенство |(х^1/3) -3| < 1, для  всех x, удовлетворяющих условию
|x−27| < 19
т. о. показали , что lim(х^1/3) = 3 , приняв ε = 1
                                  x->27
проверка:
если   
-19 < х-27 < 19
8 < х < 46
(х^1/3) = (8)^1/3 =2
(х^1/3) = (46)^1/3 = 3,6
то   2 < f(x) < 3,6 тут 3,6<4
10)
lim(5^x) = 25  ε = 100
x->2
|f(x) − L| < ε, если |x−2| < δ
f(x) = 5^x; L = 25

Подставляя f (x) и ε, получаем
|5^x -25| < 100
-100 < 5^x -25 <  100
-100+25< 5^x <  100+25 , но всегда 5^х > 0
0 < 5^x <  125
5^x < 125
5^x <  5^3
x < 3
|x−2| < δ
δ = 1
|x−2| < 1
-1 < x−2 < 1
Мы нашли для числа ε = 100 число δ = 1 , такое что выполняется
неравенство |5^x − 25| < 100, для  всех x, удовлетворяющих условию
|x−2| < 1
т. о. показали , что lim(5^x) = 25 , приняв ε = 100
                                x->2