Question

$f(x)= frac{1}{2} x^{4}-8 x^{2}$ определить область определения,множество значений,нули функции,промежутки знакопостоянства

Answer 1

f(x)=1/2*x^4-8x²=1/2(x^4-16x²+16)-8=1/2(x²-4)-8
D(y)∈(-∞;∞)
E(y)∈[-8;∞)
x=0⇒y=0
y=0⇒1/2x^4-8x²=1/2x²(x²-16)=1/2x²(x-4)(x+4)=0⇒x={0;4;-4}
f`(x)=2x³-16x=2x(x²-8)=0
x=0 x=2√2  x=-2√2
       _          +            _          +
_______________________________
           -2√2        0            2√2

Answer 2

$f(x) = frac{1}{2}x^4 - 8x^2$

1) Функция определена при любом значении независимой переменной:

$x in mathbb{R}$

2) Найдём нули функции:

$f(x) = frac{1}{2}x^2(x^2 - 16) = frac{1}{2}x^2(x - 4)(x + 4)$

Функция имеет три корня:

$x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = -4$

3) Определим промежутки знакопостоянства:

$f'(x) = frac{4}{2}x^3 - 8*2x = 2x^3 - 18x =\\ = 2x(x^2 - 8) = 2x(x - 2sqrt{2})(x + 2sqrt{2})\\ ? ? ? [-2sqrt{2}] ? ? ? [0] ? ? ? [2sqrt{2}] ? ? ?\\ f'(1) = 2*1(1 - 8) = -14 < 0\\ --- [-2sqrt{2}] +++ [0] --- [2sqrt{2}] +++$

Функция возрастает, когда

$x in (-2sqrt{2}; 0) cup (2sqrt{2}; +infty)$

Функция убывает, когда

$x in (-infty; -2sqrt{2}) cup (0; 2sqrt{2})$

4) Найдём область значений функции. Проверим точки экстремума функции и значения при стремлении аргумента к плюс и минус бесконечности. Т.к. функция чётная, $f(x) = f(-x)$:

$f(2sqrt{2}) = f(-2sqrt{2}) = frac{1}{2}(2sqrt{2})^4 - 8*(2sqrt{2})^2 = frac{64}{2} - 8*8 = 32 - 64 = -32\\ f(0) = 0\\ limlimits_{x to +infty}f(x) =limlimits_{x to -infty}f(x) = +infty$

Тогда:

$f(x) in [-32; +infty)$

Answer 3

Если не отображаются формулы, обновите страницу.