Question

Дано:F1F2F3F4-трапеция,равнобедренная.   
F1F2=F3F4=10
F2F3=8
F1F3=12
F1F4=18
Найти:
S(F1F2F3)/S(F1F3F4)

Answer 1

Дано: $F_{1}F_{2}F_{3}F_{4}$ - равнобедренная трапеция, боковые стороны $F_{1}F_{2}=F_{3}F_{4}=10$
Большее основание $F_{1}F_{4}=18$
Диагональ $F_{1}F_{3}=12$
Найти: $frac{S_{F_{1}F_{2}F_{3}}}{S_{F_{1}F_{3}F_{4}}} - ?$

Решение:
1) Рассмотрим треугольник $F_{1}F_{3}F_{4}$
Найти его площадь можно по формуле Герона (через полупериметр), т.к. известны длины всех сторон.
$p= frac{F_{1}F_{3}+F_{3}F_{4}+F_{1}F_{4}}{2}$
$p= frac{12+10+18}{2}=20$
$S_{F_{1}F_{3}F_{4}}= sqrt{p*(p-F_{1}F_{3})(p-F_{1}F_{4})(p-F_{3}F_{4})}$ -формула Герона
$S_{F_{1}F_{3}F_{4}}= sqrt{20*(20-10)(20-18)(20-12)}=sqrt{20*10*2*8}=$$=sqrt{2*10*10*2*4*2}=10*2*2sqrt{2}=40sqrt{2}$

2) По теореме косинусов в треугольнике $F_{1}F_{3}F_{4}$:
$12^{2}=10^{2}+18^{2}-2*10*18*cos(<F_{3}F_{4}F_{1})$
$144=100+324-20*18*cos(<F_{3}F_{4}F_{1})$
$20*18*cos(<F_{3}F_{4}F_{1})=100+324-144$
$cos(<F_{3}F_{4}F_{1})= frac{280}{20*18}=frac{14}{18}=frac{7}{9}$

В треугольнике $H_{3}F_{3}F_{4}$ - прямоугольном:
$cos(<F_{3}F_{4}H_{3})=frac{7}{9}=frac{F_{4}H_{3}}{F_{3}F_{4}}=frac{F_{4}H_{3}}{10}$
$frac{F_{4}H_{3}}{10}=frac{{7}}{9}$
$F_{4}H_{3}=frac{{70}}{9}$

3) Т.к. трапеция равнобедренная, то $F_{4}H_{3}=F_{1}H_{2}=frac{{70}}{9}$
Тогда $H_{2}H_{3}=F_{4}F_{1}-2*F_{4}H_{3}$
$H_{2}H_{3}=18-2* frac{70}{9}=frac{22}{9}$
$H_{2}H_{3}=F_{2}F_{3}=frac{22}{9}$

4) Рассмотрим треугольник $F_{1}F_{2}F_{3}$
По формуле Герона найдем его площадь:
$p= frac{10+12+ frac{22}{9}}{2}= frac{90+108+22}{9*2}=frac{220}{18}=frac{110}{9}$
$S_{F_{2}F_{2}F_{3}}= sqrt{frac{110}{9}*(frac{110}{9}-10)(frac{110}{9}-12)(frac{110}{9}-frac{22}{9})}=$$sqrt{frac{110}{9}*frac{20}{9}*frac{2}{9}*frac{88}{9}}= frac{sqrt{11*10*2*10*2*4*11}}{81}= frac{440}{81}$

5) Теперь найдем отношение площадей:
$frac{S_{F_{1}F_{2}F_{3}}}{S_{F_{1}F_{3}F_{4}}}= frac{440}{81*40 sqrt{2}}=frac{11}{81sqrt{2}}=frac{11sqrt{2}}{162}$