Question

а)решите уравнение сos2x+3sin(в квадрате)x=1,25 б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (п; 5п/2)

 

 

решение нужно подробное

Answer 1

По формуле: 

$cos2x=cos^2x-sin^2x$

Зная это получаем:

$cos^2x-sin^2x+3sin^2x=1,25 \ cos^2x+2sin^2=1,25 \ cos^2x+sin^2x+sin^2x=1,25$

Известно что: 

$cos^x+sin^2x=1$

отсюда получаем:

$1+sin^2x=1,25 sin^2x=0,25 \sin^2x=frac{1}{4} \ x= ^+_{-}frac{1}{2}$ 

Получаем 2 уравнения:

$1) sinx=frac{1}{2}$  это табличное значение синуса и получается 2 решения:

 $x_1=frac{pi}{6}+2pi k, k in Z \x_2=frac{5pi}{6}+2pi k, k in Z$ 

 

$2) sin x=-frac{1}{2}$ аналогично получаем 2 решения:

 $x_3=frac{7pi}{6}+2pi k, k in Z \x_4=frac{11pi}{6}+2pi k, k in Z$

Теперь обратим внимание, что эти 4 решения можно записать в 2 решения в виде:

$x_1=frac{pi}{6}+pi k, k in Z \x_2=frac{5pi}{6}+pi n, n in Z$ 

 Теперь надо найти при каких значениях k и n решения лежат на отрезке $[0; frac{5pi}{2}]$

Для этого решаем 2 неравенства

1)  $0<frac{pi}{6} pi k < frac{5pi}{2} \ -frac{pi}{6}<pi k < frac{5pi}{2}-frac{pi}{6} \ -frac{pi}{6}<pi k < frac{14pi}{6} \ -frac{pi}{6pi}$</var></p> <p> Так как <strong>к</strong> у нас принадлежит целым числам, то получается что к=0,1,2</p> <p><strong>2)</strong>  Теперь ищем n, аналогично:</p> <p> <img src=[/tex]0<frac{5pi}{6}+pi n < frac{5pi}{2} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{5pi}{2}-frac{5pi}{6} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{10pi}{6} \ -frac{5pi}{6pi }" title="0<frac{5pi}{6}+pi n < frac{5pi}{2} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{5pi}{2}-frac{5pi}{6} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{10pi}{6} \ -frac{5pi}{6pi }" alt="0<frac{5pi}{6}+pi n < frac{5pi}{2} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{5pi}{2}-frac{5pi}{6} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{10pi}{6} \ -frac{5pi}{6pi }" />

Поскольку n принадлежит целым числам, то получается что n=0,1

Ответ: 

$<var>x_1=frac{pi}{6}+pi k, k=0,1,2 \ \ x_2=frac{5pi}{6}+pi n, n=0,1$

 Так как к у нас принадлежит целым числам, то получается что к=0,1,2

2)  Теперь ищем n, аналогично:

 $<var>0<frac{5pi}{6}+pi n < frac{5pi}{2} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{5pi}{2}-frac{5pi}{6} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{10pi}{6} \ -frac{5pi}{6pi }$

Поскольку n принадлежит целым числам, то получается что n=0,1

Ответ: 

$0<frac{pi}{6}+pi k < frac{5pi}{2} \ -frac{pi}{6}<pi k < frac{5pi}{2}-frac{pi}{6} \ -frac{pi}{6}<pi k < frac{14pi}{6} \ -frac{pi}{6pi}$

 Так как к у нас принадлежит целым числам, то получается что к=0,1,2

2)  Теперь ищем n, аналогично:

 $<var>0<frac{5pi}{6}+pi n < frac{5pi}{2} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{5pi}{2}-frac{5pi}{6} \ -frac{5pi}{6}<pi n < frac{10pi}{6} \ -frac{5pi}{6pi }$

Поскольку n принадлежит целым числам, то получается что n=0,1

Ответ: 

[tex]x_1=frac{pi}{6}+pi k, k=0,1,2 \ \ x_2=frac{5pi}{6}+pi n, n=0,1" />