Question

Основанием прямой трапеции является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол - альфа. Угол между диагональю большей боковой грани и плоскостью равен гамма. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Обозначим призму буквами ABCA1B1C1, где ABC - нижнее основание, A1B1C1 - верхнее основание. Рассмотрим прямоугольный треугольнки ABC. Пусть угол ABC=90 градусов, угол $BCA=alpha$ Сторона AC=c по условию задачи. Находим стороны AB и BC.

$AB=AC*sinalpha=c*sinalpha$

$BC=AC*cosalpha=c*cosalpha$

Так как AC - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, то большая боковая грань призмы - это AA1C1C. По условию угол $C1AC=gamma$

Рассмотрим треугольник C1AC. Он прямоугольный, так как призма - прямая. Угол C1CA=90 градусов. Находим сторону C1C:

$C1C=AC*tggamma=c*tggamma$

Так как призма прямая, CC1=AA1=BB1

Теперь, когда мы знаем все стороны призмы, можно вычислить площадь поверхности. Площадь поверхности равна сумме площадей сторон призмы.

$S=S_A_B_C+S_A_A_1_B_1_B+S_B_B_1_C_1_C+S_A_A_1_C_1_C+S_A_1_B_1_C_1$

$S_A_B_C=S_A_1_B_1_C_1=frac{1}{2}*AB*BC=frac{1}{2}*c*sinalpha*c*cosalpha=$

$=frac{c^2}{4}*sin2alpha$

$S_A_A_1_B_1_B=AA1*AB=c*tggamma*c*sinalpha=c^2*sinalpha*tggamma$

$S_B_B_1_C_1_C=BB1*BC=c*tggamma*c*cosalpha=c^2*cosalpha*tggamma$

$S_A_A_1_C_1_C=AA1*AC=c*tggamma*c=c^2*tggamma$$S_A_A_1_C_1_C=AA1*AC=c*tggamma*c=c^2*tggamma$

Площадь поверхности призмы равна:

$S=2*frac{c^2}{4}sin2alpha+c^2sinalpha tggamma+c^2cosalpha tggamma+c^2tggamma=$

$=c^2*(frac{1}{2}sin2alpha+sinalpha tggamma+cosalpha tggamma+tggamma)$