Предмет: Математика, автор: vfhbyf1

Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Ответы

Автор ответа: Voxman
0
x^3 + 3x^2 - 6x + a = 0

Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:

(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = (x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1*a_2)(x - a_3) =\\
= x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3)x- a_1*a_2*a_3\\
-3 = a_1 + a_2 + a_3\\
-6 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3\\
-a = a_1*a_2*a_3

Т.к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:

a_1,  a_2 = a_1*q,  a_3 = a_2*q = a_1*q^2

Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:

-3 = a_1(1 + q + q^2)\\
-6 = a_1(a_1*q)+ a_1(a_1*q^2) + (a_1*q)(a_1*q^2) = \\ = a_1^2(q + q^2 + q^3) = a_1^2q(1 + q + q^2)\\
frac{-6}{-3} = frac{a_1^2q(1 + q + q^2)}{a_1(1 + q + q^2)}\\
2 = a_1q = a_2\\
a_1 = frac{2}{q},   frac{2}{q}(1 + q + q^2) = -3\\
2 + 2q + 2q^2 = -3q\\
2q^2 + 5q + 2 = 0\\
D = 25 - 16 = 9\\
q_1 = frac{-5 + sqrt{9}}{4} = -frac{2}{4} = -0.5\\
q_2 = frac{-5 - sqrt{9}}{4} = -frac{8}{4} = -2

Проверим для q = -0.5:

a_2 = 2,  a_1 = a_2*(0.5)^{-1} = 2*(-2) = -4 , a_3 = a_2*(-0.5) = -1\\
a_1 + a_2 + a_3 = -4 + 2  - 1 = -3\\
a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -4*2 + (-4)*(-1) + 2*(-1) =\\= -8 + 4 - 2 = -6

Проверим для q = -2:

a_2 = 2,  a_1 = a_2*(-2)^{-1} = 2*(-2) = -1 , a_3 = a_2*(-2) = -4\\
a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 2  - 4 = -3\\
a_1*a_2 + a_1*a_3 + a_2*a_3 = -1*2 + (-1)*(-4) + 2*(-4) = \\ = -2 + 4 - 8 = -6

mathbb{OTBET:}  a_1 = -1,  a_2 = 2,  a_3 = -4,  a = -8.
Само уравнение принимает вид x^3 + 3x^2 - 6x  - 8 = 0.
Автор ответа: vfhbyf1
0
Спасибо большое. Вроде пока все понятно!
Похожие вопросы
Предмет: Химия, автор: matveikas2006