Question

помогите пожалуйста полное решение
задание: найдите значение производной функции y=f(x) в точке x0 , если

Answer 1

 $1) f`(x)=(2sin frac{x}{2}+cos3x)`=2cos frac{x}{2}cdot ( frac{x}{2})`-sin3xcdot (3x)`= \ =2cdot frac{1}{2} cdot cos frac{x}{2}-3cdot sin3 x, \ f`( frac{ pi }{2})=cos frac{ pi }{4} -3sin frac{3 pi }{2}= frac{ sqrt{2} }{2}-3cdot(-1)=$
=3+(√2)/2
$2) f`(x)=( frac{3 x^{3}-1}{x+1}+ frac{1}{4} x^{4})`= frac{9x^{2} (x+1)-(3 x^{3}-1) }{(x+1) ^{2} }+ frac{1}{4}cdot4x ^{3} = \ = frac{9x ^{3}+9 x^{2} -3x ^{3}+1 }{(x+1) ^{2} } + x^{3}, \ f`(-2)= frac{6cdot(- 8)+9cdot 4+1 }{1}-8 = -11-8=-19$

Answer 2

Дифференцируем $2sin frac{x}{2} +cos3x$ почленно:
Заменим 3х=u
Производная косинус есть минус синус:
$cos'u=-sin u$
Затем применим цепочку правил.
Умножим на $(3x)'$

Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции

Заменим $u== frac{x}{2}$

Производная синус есть косинус:
$sin'u==cos u$

В силу правила применим: х получим 1
Таким образом в результате $frac{1}{2}$

В результате последовности правил:
$dfrac{cos frac{x}{2} }{2}$

Получаем $-3sin3x+cos frac{x}{2}$

Если x0 =п/2

$-3sin frac{3 pi }{2} +cos frac{ pi }{4} =3+ frac{ sqrt{2} }{2}$

$( frac{3x^3-1}{x+1} )'+(0.25x^4)'= frac{(3x^3-1)'(x+1)-(3x^3-1)(x+1)'}{(x+1)^2} +(0.25x^4)'= \ \ = frac{6x^3+9x^2+1}{(x+1)^2} +x^3$
Если х=-2

$frac{6*(-8)+36+1}{1} -8=-48+36+1-8=-19$