Question

Алгебра, функции. помогите пожалуйста: 2.6 (а,б) 2.7 (а,б)

Answer 1

$2.6 a) y = x^2 - 8x + 1$

Парабола, ветви который идут вверх (коэффициент при старшей степени положительный). Соответственно, сверху не ограничена. Снизу ограничена.  Найдём вершину параболы:

$x_v = -frac{b}{2a} = 4\\ y_v = y(x_v) = 16 - 32 + 1 = -15\\ y geq -15$

$b) y = frac{2x - 4}{x}, x > 0\\ y = 2 - frac{4}{x}$

Это гипербола. Она возрастает на всём промежутке, а следовательно и при x > 0. (В этом легко убедиться взяв производную, но это и так вытекает из свойств гиперболы с отрицательным коэффициентом при x.)
Посмотрим, в пределе, ограниченна ли она сверху.

$limlimits_{x rightarrow +infty} (2 - frac{4}{x}) = 2$

Следовательно, $y leq 2$, при $x > 0$.

 $2.7 a) y = sqrt{-x^2 + 4x - 5}\\ -x^2 + 4x - 5 = 0$

Парабола, ветви которой направленны вниз.

$D = 16 - 20 = -4$

Корней нет, следовательно вершина лежит ниже оси абсцисс.
Тогда подкоренное выражение принимает всегда отрицательные значения, и следовательно функция не имеет смысла.

$b) y = sqrt{frac{x^2 - 4x + 1}{5}}$

Арифметический корень не принимает отрицательные значения, следовательно, функция ограничена снизу $0 leq y$.

$frac{x^2 - 4x + 1}{5} = 0$

Парабола, ветви которой направленны вверх. Следовательно, функция сверху не ограничена.

$x^2 - 4x + 1 = 0\\ D = 16 - 4 = 12\\ x_1 = frac{4 + sqrt{12}}{2} = 2 + sqrt{3}\\ x_2 = frac{4 + sqrt{12}}{2} = 2 - sqrt{3}$

Оценка $0 leq y$ точная, так, как парабола имеет вещественные корни.