Question

При каком натуральном n значение выражения n^4+4 является простым числом?

Answer 1

При n=1, т.к. 1^4+4=1+4=5 (5 простое число, т.к. не имеет делителей кроме 1 и самого себя).

Answer 2

$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2n+2)*(n^2-2n+2)$

$n geq 1$ а значит
$n^2+2n+2 geq 1+2+2=5$
$n^2-2n+2=n^2-2n+1+1=(n-1)^2+1 geq 0+1=1$
Причем равенство достигается только при $n-1=0;$ т.е. при $n=1$

таким образом если n=1 то число $n^4+4$ простое
иначе у данного числа будут делители отличные от него и от 1 а значит оно будет составным
ответ: при n=1