Question

Помогите решить пожалуйста! Диагонали четырехугольника АВСД, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М. Известно, что угол АВС=72 градуса; угол ВСД=102 градуса; угол АМД=110градуса. Найдите угол АСД. Ответ должен получиться 52 градуса

Answer 1

Вспомним теорему: "Угол, вершина которого лежит внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон" Дуга ВD = 2*102 = 204; Дуга АС = 2*72= 144; Искомый угол измеряется половиной дуги на которую он опирается: угол ACD = AD/2; Из выше написанной теоремы следует, что угол АМВ = 180-110 = 70, он же равен (АВ+СD)/2 - полусумме дуг. Определим двумя способами дугу  AD = BD - AB и AD = AC - CD, сложим эти 2 уравнения ---- 2AD=AC+BD-(AB+CD) но мы знаем, что AB+CD = 70*2 = 140, а AC+BD = 204+144 = 348 - подставим цифры 2AD = 348 - 140 = 208, AD=104, наш угол измеряется половиной дуги: угол ACD = AD/2 = 104:2 = 52.