Question

Имеются два раствора воды и иной жидкости. Взяли некоторое количество первого раствора, в котором 60% воды, и долили 1/2л второго - получился раствор с32%-ным содержанием воды. Затем тому же объему первого раствора добавили 3/2л второго, теперь воды оказалось 18%. Сколько брали литров первого раствора?

Гражданин положил в сберегательный банк некоторую сумму денег под фиксированный процент годового дохода. За первые два года сумма вклада возросла на 60000, а третий год на 49000. Какова была первоначальная сумма вклада?

Answer 1

Примем процентное содержание воды во втором растворе за х,
а количество первого раствора за y.
Количество воды, получаемое при смешивании, равняется количеству воды, содержащемуся в двух растворах.
Тогда получаем систему:
$left { {{0,6y+x*0,5=0,32(y+0,5)} atop {0,6y+x*1,5=0,18(y+1,5)}} right.$
$left { {{0,6y+0,5x=0,32y+0,16} atop {0,6y+1,5x=0,18y+0,27}} right.$
$left { {{0,28y+0,5x=0,16} atop {0,42y+1,5x=0,27}} right.$
Умножаем первое уравнение почленно на 3:
$left { {{0,84y+1,5x=0,48} atop {0,42y+1,5x=0,27}} right.$
Вместо первого уравнения записываем разность первого и второго уравнений.
Второе уравнение оставляем без изменений.
$left { {{0,42y=0,21} atop {0,42y+1,5x=0,27}} right.$
$left { {{y=0,5} atop {0,21+1,5x=0,27}} right.$
$left { {{y=0,5} atop {1,5x=0,06}} right.$
$left { {{y=0,5} atop {x=0,04}} right.$
Ответ: было взято 0,5 л первого раствора.

Формула сложных процентов: Pn = P₀(1+m)^n, где
Pn -- сумма вклада через n лет;
P₀ -- первоначальная сумма вклада;
m -- часть от первоначальной суммы вклада, которую составляет ежегодная прибыль по вкладу.
Тогда:
P₂ - P₀ = P₀(1+m)² - P₀ = P₀(1+2m+m²) - P₀ = P₀(2m+m²) = 60000
P₃ - P₂ = P₀(1+m)³ - P₀(1+m)² = P₀(1+3m+3m²+m³) - P₀(1+2m+m²) = P₀(m+2m²+m³) = 49000
Т. е., получаем систему:
P₀·m(2+m) = 60000         (*)
P₀·m(1+2m+m²) = 49000
Делим первое уравнение на второе, получаем:
(2+m)/(1+2m+m²) = 60/49
98+49m = 60+120m+60m²
60m²+71m-38 = 0
D = 71²-4·60·(-38) = 14161 = 119²
m₁ = $frac{-71-119}{120}$ = $frac{-19}{12}$
m₂ = $frac{-71+119}{120}$ = $frac{48}{120}$ = 0,4
m должно быть положительным. Поэтому m = 0,4.
Чтоб найти P₀, подставляем полученное значение m в уравнение (*):
P₀·0,4(2+0,4) = 60000
P₀·0,4·2,4 = 60000
0,96·P₀ = 60000
P₀ = 60000/0,96 = 62500
Ответ: первоначальная сумма вклада равна 62500.