Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 .Каково должно быть его основание, что бы площадь треугольника  была наибольшей?

Answer 1

Пусть основание х, тогда высота: (√(16-x²))/2
Функция задающая площадь: S(x)=(x·√(16-x²))/4
Найдем производную S`(x)=(16-2x²)/(4√(16-x²))
Найдем экстремумы: 16-2х²=0⇒х=+/-2√2
x=2√2- точка максимума.

Answer 2

Формула площади треугольника имеет вид: S=ab/2, где a - высота, b - основание. Примем формулу площади треугольника за функцию S(b), выразим
a через b, чтобы функция была от одной независимой переменной b.
Высоту a вычислим с помощью т.Пифагора: a=√2²-(b/2)²=$frac{ sqrt{16- b^{2} } }{2}$
Подставляя полученное выражение в формулу функции S(b) вместо а получим: $S(b)= frac{b sqrt{16- b^{2} } }{4}$.
Нужно найти значение переменной b такое, при котором функция S(b) примет наибольшее значение
Найдем производную: $S'(b)= frac{1}{4}( sqrt{16- b^{2} }- frac{ b^{2} }{ sqrt{16- b^{2} } })$
Приравняем её к нулю и найдем точки экстремума, в одной из которых функция принимает искомое наибольшее значение:
$frac{1}{4}( sqrt{16- b^{2} }- frac{ b^{2} }{ sqrt{16- b^{2} } } )=0 sqrt{16- b^{2} } = frac{ b^{2} }{ sqrt{16- b^{2} } }$
$16- b^{2} = b^{2} 2 b^{2}=16 b=+-2 sqrt{2}$
S(2√2)=2
S(-2√2)=-2
В точке b=2√2 функция S(b) принимает наибольшее значение.
Т.о, основание треугольника должно быть равным 2√2, чтобы площадь треугольника была наибольшей.