Question

Доказать, что при любом x ∈ R,
 x^16-x^12+x^8-x+1>0

Answer 1

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1>0$

Если $x leq -1$, то имеем
$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 geq x^8-x+1$
Отсюда 
$x^8-x+1>0$

Если $-1 leq x leq 0$, то имеем

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 geq x^{16}+x^8+1 \ x^{16}+x^8+1>0$

Если $0 leq x leq 1$, то имеем

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 geq x^{16}-x+1 \ x^{16}-x+1 geq x^{16} \ x^{16}>0$

Если $x>1,$ то 

$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1>x^8-x+1 \ x^8-x+1>1 \ 1>0$

Отсюда, во всех возможных , левая часть уравнение принимает только положиьельные значения, отсюда х - любое число

Что и требовалось доказать

Answer 2

Это как минимум надо было де-то написать, и потом, почему именно такие?

Answer 3

Все... мне больше нечего сказать. Если бы я проверял эту работу - сходу незачет.

Answer 4

Рассмотрим три случая:

1) x<0

При любом x<0 верно x^16+x^8>x^12 (т.к. все слагаемые положительны из-за чётной степени), а значит, x^16-x^12+x^8>0.
Осталось доказать, что -x+1>0. Перенесем -x в правую часть и получим x<1, что удовлетворяет нашему условию x<0, а значит,  -x+1>0.

Т.к.  x^16-x^12+x^8>0 и  -x+1>0, всё выражение больше 0.

2) x=0

Подставим x=0 в x^16-x^12+x^8-x+1>0 и получим верное неравенство 1>0, т.е. и в этом случае  всё выражение больше 0.

3) x>0

При любом x>0 верно x^16>x^12, а значит x^16-x^12>0.
Осталось доказать, что x^8-x+1>0. При любом x>0 x^8>x, а значит, x^8-x>0.
1>0.

Т.к.  x^16-x^12>0  и  x^8-x>0 и 1>0, всё выражение больше 0.

Т.е. при x∈R выражение больше 0