Question

     решить уравнение(x^2-6x-9)^2=x(x^2-4x-9)

Answer 1

20(x²-6x-9)²=x(x²-4x-9)
(x²-6x-9)²-x(x²-4x-9)=0
(x²-6x)²-2(x²-6x)·9+9²-x³+4x²+9x=0
x⁴-12x³+36x²-18x²+108x+81-x³+4x²+9x=0
x⁴-13x³+22x²+117x+81=0
подставив вместо х=-1 убеждаемся, что 1+13+22-117+81=0 - верно
Значит х=-1 - корень данного уравнения
Делим x⁴-13x³+22x²+117x+81 на (х+1)
 получим х³-14х²+36х+81
Итак,
 x⁴-13x³+22x²+117x+81=(х+1)·(х³-14х²+36х+81)
корни многочлена
х³-14х²+36х+81
следует искать среди делителей свободного коэффициента 81

Это числа ±1;±3;±9
Подставим х=9 и убеждаемся, что 9³-14·9²+36·9+81=81(9-14+4+1)=81·0=0
х=9 - корень данного уравнения
х³-14х²+36х+81 делим на (х-9)
получим х²-5х-9
Осталось разложить на множители последнее выражение
х²-5х-9=0
D=25+36=61
x=(5-√61)/2    или  х=(5+√61)/2

Окончательно
x⁴-13x³+22x²+117x+81=0  ⇒(х+1)·(х³-14х²+36х+81)=0⇒(х+1)(х-9)(х²-5х-9)=0⇒ х₁=-1  или х₂=9   или x₃=(5-√61)/2    или  х₄=(5+√61)/2

Answer 2

а откуда третья строчка взялась?

Answer 3

Здесб через замену можно

Answer 4

$(x^2-6x-9)^2-x(x^2-4x-9)=0|:x^2 \ (x- frac{9}{x} -6)^2-(x- frac{9}{x} -4)=0$

Пусть $x- frac{9}{x}=t$

$(t-6)^2-(t-4)=0 \ t^2-12t+36-t+4=0 \ t^2-13t+40=0 \ D=b^2-4ac=(-13)^2-4cdot1cdot40=9 \ \ t_1_,_2= frac{-bpm sqrt{D} }{2a} \ \ t_1=5; \ t_2=8$

Обратная замена

$x- frac{9}{x}=5|cdot x \ x^2-5x-9=0 \ D=b^2-4ac=(-5)^2-4cdot1cdot(-9)=61 \ \ x_1_,_2= dfrac{5pm sqrt{61} }{2} \ \ x- frac{9}{x}=8 \ x^2-8x-9=0 \ \ x_3=-1; \ x_4=9$

Ответ: $x_1_,_2= dfrac{5pm sqrt{61} }{2} \ x_3=-1; \ x_4=9$