Question

Симметричным трехзначным числом будем считать число, запись которого имеет ровно три значащих цифры,и первая цифра совпадает с последней. Определите минимальное основание системы счисления, в которой можно записать не менее 200 трехзначных чисел, не являющихся симметричными. В ответе укажите целое число.

Answer 1

Трехзначное число в системе счисления по основанию p может быть записано, как $N_{(p)}=n_2times p^2+n_1times p^1+n_0times p^0; \ N_{(p)}=n_2times p^2+n_1times p+n_0, begin {cases} p in mathbb Z, {n_2,n_1,n_0} in mathbb Z \ n_2 in [1;p-1], {n_1,n_0} in [0;p-1] \ n_2 ne n_0 end {cases}$
Разница между максимальным и минимальным трехзначными числами должна превышать десятичное число 200 (пока не будем учитывать дополнительное ограничение на несимметричность), т.е.
$big((p-1)times p^2+(p-1)times p+(p-1)big)-big((p^2+0times p^1+0)big)>200; \ (p^3-p^2+p^2-p+p-1)-p^2>200; p^3-1>200 to p> sqrt[3]{200}$
В целых числах получаем условие p≥6, т.е. основание системы счисления не может быть меньше 6.
Найдем, сколько трехзначных чисел можно получить в системе счисления с основанием 6: $p^3-1=6^3-1=215_{10}.$
Симметричными будут числа вида 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 6. Итого получается пять групп, в каждой из которых шесть чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 30. Следовательно, в системе счисления по основанию 6 можно записать 215-30=185 трехзначных несимметричных чисел, что меньше ограничения 200.
Проверим систему счисления по основанию 7: $p^3-1=7^3-1=342_{10}.$
Симметричными будут числа вида 6х6, 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 7. Итого получается шесть групп, в каждой из которых семь чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 42. Следовательно, в системе счисления по основанию 7 можно записать 342-42=300 трехзначных несимметричных чисел, что превышает ограничение 200.

Ответ: 7