Question

Помогите решить, пожалуйста!
Около окружности описана трапеция
ABCD, боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям, М – точка
пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника CMD равна S.
Найдите радиус окружности.

Answer 1

Треугольники

$S_{AMD}=S_{CMD}$                       

Видно что $AB=2r$ 

Тогда так как      касательные проведенные с одной точки равны , и середины оснований и       точка пересечения диагоналей лежать на одной прямой , значит от точки                  

$M$ до $AB$ радиус окружности

$S_{AMD}=frac{2r*r}{2}=S$

$r=sqrt{S}$   

Answer 2

1) середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой в любой трапеции. 2) какое отношение середины оснований имеют к равенству касательных? 3) так все-таки, ПОЧЕМУ от M до AB расстояние r? Это действительно так, я это доказал несколькими способами, но все они не слишком прозрачные. Без доказательства этого все это - не решение. Я еще раз повторяю, я делал эту задачу тут 2 года назад, и там специально подчеркнул, что этим нельзя пользоваться, как заранее очевидным.

Answer 3

http://znanija.com/task/541942 вот тут точное решение. Не самое технически простое, но точное. Кстати, ИЗ НЕГО СЛЕДУЕТ, что M лежит на диаметре, соединяющем точки касания оснований. А не наоборот. Это можно доказать и независимо от задачи - надо доказать, что (c - a)/b = r/(a - r) в прямоугольном треугольнике. Тогда в трапеции, которую отсекает от него касательная, параллельная катету a, точка пересечения диагоналей проектируется на точку касания. Это действительно так. (тут без обмана:))

Answer 4

Матов обычно заходит к вечеру.

Answer 5

Общее утверждение! Важно. Хотя, кто это будет теперь читать :(. В ПРОИЗВОЛЬНОМ описанном четырехугольнике диагонали и отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Вот это - стоящая задача. Если известен этот результат, то выложенная автором задача - устная, решается в 1 действие.