Question

решите рациональные неравенства
1)      (2-x)(3x+1)(2x-3)<=0
2)      (-7x^2-6x+1)(x-5)=>0
3)      (x^2-3x+2)(x^3-3x^2)(4-x^2)<=0
4)      (x^2-6x+8)(x^2-4)(4+x^2-4x)=>0

Answer 1

1) (2-x)(3x+1)(2x-3)≤0
   решаем методом интервалов
   2-х=0, х=2
   3х+1=0, х=-1/3
   2х-3=0, х=1,5
Отмечаем точки на числовой прямой и расставляем знаки:
при х=0   (2-0)(0+1)(0-3)<0 
0∈[-1/3;1,5]  над этим промежутком ставим минус,и потом знаки чередуем:
     +                    -                    +              -
----------[-1/3]---------------[1,5]-------[2]------------------
квадратные скобки означают, что точка отмечена заполненным кружком
Ответ [/1/3; 1,5] U (2;+∞)

2) (-7x²-6x+1)(x-5)≥0
     -7х²-6х+1=0    или    7х²+6х-1=0    D=36+28=64=8²
     x=(-6-8)/14=-1    или х=(-6+8)/14=1/7
х-5=0 , х=5
в нуле знак минус 1·(-5)<0
             +                    -                    +                        -
---------------------[-1]---------[1/7]-------------------[5]------------------
Ответ  (-∞; -1] U [1/7; 5]
3) (x²-3x+2)(x³-3x²)(4-x²)≤0
     Разложим левую часть на множители:
     (х-2)(х-1)х²(х-3)(2-х)(2+х)≤0
   или
     - (х-2)(х-1)х²(х-3)(х-2)(х+2)≤0
   или
       (х-2)²х²(х-1)(х-3)(х+2)≥0
     Так как имеется множитель (х-2)²≥0 при любом х, то при переходе через точку х=2 знак не меняется
Так как имеется множитель   х² , то при переходе через точку х=0 знак не меняется
           -                  +        +      -        -          +
    ---------------[-2]------[0]----[1]----[2]----[3]-------         
Ответ [-2;1] U [3; +∞)     
 
4) (x²-6x+8)(x²-4)(x²-4x+4)≥0
     (x-2)(x-4)(x-2)(x+2)(x-2)²≥0
     (x-2)⁴(x-4)(x+2)≥0
В точке х=0 знак минус
           +                        -                -                  +
--------------------[-2]---------------[2]--------[4]--------------------
Ответ  (-∞;-2] U [4;+∞)