На стороне АВ треугольника АВС взята точка Д так, что
окружность, проходящая через точки А, С и Д, касается прямой ВС. Найдите АД,
если АС = 12, ВС = 18, СД = 8.
Ответы
Сделаем рисунок.
Рассмотрим ∆ ВСД и ∆ ВСА.
ВС - касательная, СД - хорда, ∠САД- вписанный.
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую опирается. ⇒
∠ВСД=∠САВ - опираются на дугу СД.
1) В ∆ ВСА и Δ ВСД угол В общий.⇒ Они подобны по равенству двух углов.
Из подобия следует отношение АВ:18=СА:СД
АВ:18=12:8=3:2
2АВ=54
АВ=27
2) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
ВС - касательная, ВА - секущая. ВД - внешняя часть секущей.--
ВА•ВД=ВС²
Пусть АД=х, тогда ВД=27-х
27•(27-х)=324
729-27х=324⇒
27х=405
АД=х=15 (ед. длины)
