Question

Есть система:
2^x*3^y=12
2^y*3^x=18

Она решается умножением двух уравнений, т.е. ее корни находятся из уравнения:
2^x*3^y*2^y*3^x=12*18
В этом уравнении можно поставить скобки в в любом месте и перемножив их получим 12*18, но как доказать не решая, т.е. просто доказать суть метода или объяснить логически, что корни уравнения дают 2^x*3^y=12,  а 2^y*3^x=18, ведь полученое уравнение на прямую не как не связано с системой. Почему корни не могут дать дают 3^x*3^y=18, 2^x*2^y=12.

Не надо подставлять значения просто говорить что все верно.
Нужна суть метода решения и доказательство

Answer 1

При умножении получим:
2^(х+у)•3^(х+у)=216;
6^(х+у)=6^3,отсюда х+у=3; х=3-у;подставим в первое:2^(3-у)•3^у=12;
8/2^у•3^у=12;
8•(3/2)^у=12;
(3/2)^у=3/2;
у=1;тогда х=3-1=2;
(2;1)

Answer 2

После перемножения 2^x*3^y*2^y*3^x=12*18 надо сгруппировать одинаковые основания и представить 12*18 в виде степеней.
2^(x+y) * 3^(x+y) = 3*4*3*6 = 3*2²*3*3*2 = 2³ * 3³.
Отсюда вывод - х + у = 3.
Решения 2 :  х = 1   у = 2   или
                        х = 2   у = 1
2¹ * 3² = 18 - не удовлетворяет,
значит -  х = 2   у = 1
2² * 3¹ = 4 * 3 = 12 - соответствует.