Предмет: Математика, автор: miniar1

Пожалуйста помогите найти длину дуги кривой y=ln x, где х больше или равно корню из 3, но меньше или равно корню из 4. 

Ответы

Автор ответа: nafanya2014
0
Найдем производную у`=1/x
L= intlimits^2_ {sqrt{3}}  { sqrt{1+(y`) ^{2} } } , dx = intlimits^2_{ sqrt{3}}  { sqrt{1+( frac{1}{x}) ^{2}  } } , dx = intlimits^2_{ sqrt{3} } { sqrt{ frac{ x^{2} +1}{ x^{2} } } } ,  dx = \ ,

Вычислим интеграл с помощью тригонометрической подстановки х= tg t
тогда dx= 1/(cos² t) 
x²+1=tg² t +1= 1/(cos² t)

 intlimits}  { sqrt{1+( frac{1}{x} ) ^{2}  } } , dx = intlimits  { frac{ sqrt{tg ^{2}t+1 } }{tgt} } , frac{dt}{cos ^{2}t }= intlimits { frac{sint}{sin ^{2}tcdot cos ^{2} t } } , dt = intlimits { frac{d(cost)}{cos ^{2}t(cos ^{2}t-1)  } } ,=

= intlimits{ (frac{1}{cos ^{2}t -1}- frac{1}{cos ^{2}t } ) } , d(cost)= frac{1}{2}ln |frac{cost-1}{cost+1}|  + frac{1}{cost} = frac{1}{2}ln|tg frac{t}{2}| + frac{1}{cost}

где t = arctg x

L= frac{1}{2} ln|tg frac{arctg2}{2}|- frac{1}{2}ln|tg  frac{arctg sqrt{3} }{2}| } + frac{1}{cos(arctg2)}  - frac{1}{cos(arctg sqrt{3} )}


Автор ответа: nafanya2014
0
Не знаю, может можно и проще сосчитать интеграл, у меня не получилось
Автор ответа: miniar1
0
спасибо огромное!!!!
Автор ответа: nafanya2014
0
пыталась еще через взаимно обратную функцию у= e^x, но там еще сложнее интеграл
Похожие вопросы