Question

Помогите пожалуйста вариант 4 номера 4,5

Answer 1

1. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 95 включительно?
Рассмотрим произведение целых чисел от 1 до 10.
$prod_{i=1}^{10}(i)=1times2times3times4times5times6times7times8times9times10= \ 1times2times3times6times7times8times9times(4times5times10)= \ 1times2times3times6times7times8times9times200$
Это произведение оканчивается двумя нулями.
Произведение целых чисел от 1 до 90 включительно будет содержать в конце 9х2=18 нулей, но поскольку числа 25, 50 и 75 при умножении на 4 оканчиваются не одним нулем, а двумя, то нулей будет на три больше. Следовательно, произведение всех целых чисел от 1 до 90 включительно будет содержать 18+3=21 ноль. Произведение 91х92х93х94х95=91х92х93х(94х95) будет содержать в конце один ноль.
Итого, произведение всех целых чисел от 1 до 95 включительно будет оканчиваться 22 нулями.
2. Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на числа 17 и 13 равны соответственно 15 и 11.
Пусть искомое число равно n. Тогда можно составить систему из двух уравнений и решить ее в области натуральных чисел.
$begin {cases} n-15k=15 \ n-13m=11 end {cases};$
Вычтем из первого уравнения второе.
$-17k+13m=4 to m= frac{17k+4}{13}; m in mathbb N, k in mathbb N \ frac{17k+4}{13}= frac{17}{13}k+ frac{4}{13}= (1frac{4}{13})k+ frac{4}{13}= (1+frac{4}{13})k+ frac{4}{13}=k+ frac{4}{13}(k+1); \ m=k+ frac{4(k+1)}{13};$
Поскольку m и к - натуральные числа, то значение выражения 4(k+1) должно быть кратно 13. Поскольку у 4 и 13 нет общих делителей, то k+1 должно быть кратно 13, т.е. минимальное значение k+1=13 или k=12.
Тогда n=15+17k=15+17*12=15+204=219
Проверка:
$frac{219}{17}=12 frac{15}{17}; frac{219}{13}=16 frac{11}{13}$