Question

Слова гнездо и гнездышко,будут ли являться однокоренными?

Answer 1

Конечно будут! У них один корень "гнезд"!
Гнездо - корень "гнезд", окончание "о"
Гнёздышко - корень "гнезд", суффикс "ышк", окончание "о"

Answer 2

Да, будут

У обоих слов корень ГНЕЗД