Question

Решить с объяснением:
$sqrt[3]{x+5} + sqrt[3]{x+6} = sqrt[3]{2x+11}$

Answer 1

Красивое задание.
Не  трудно убедится что
корень  x=-11/2
Является решением подставим его.
∛(-11/2+5)+∛(-11/2+6)=∛-11+11
-1/∛2 +1/∛2=0 верно
Теперь можно поделить обе части уравнения:
на ∛(2x+11) Конечно в этом случае уравнение будет не совсем равносильным   в плане что мы теряем решение
 2x+11=0
x=-11/2 Но  мы взяли на ус  что этот корень есть. Поэтому остальное  нам не важно.  Тк  остальные корни сохранились.
∛(x+5)/(2x+11) +∛(x+6)/(2x+11)=1
Сделаем замены:
 ∛(x+5)/(2x+11)=a ∛(x+6)/(2x+11)=b
Откуда
 a+b=1
a^3+b^3=2x+11/2x+11=1
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab )
тк (a+b)=1
a^2-ab+b^2=1
b=1-a
a^2-a(1-a)+(1-a)^2=1
a^2-a+a^2+a^2-2a+1=1
3a^2-3a=0
a(a-1)=0
a=0
a=1
x+5=0
x=-5
x+5=1
x=-4 но этот корень не  подходит
НО не будем забывать про симетрию выражения  откуда   и вылезла ошибка
a^2+b^2-ab=0
Подставим
a=b-1
То в  силу симетрии получим похожее уравнение:
b^2-b=0
b(b-1)=0
то  x+6=0
x=-6
x+6=1
x=-5
Ответ: x=-5   x=-6  x=-11/2

Answer 2

Это в целом одно и тоже по ходу решения вы делили на b^2 это в принципе таже идея :)

Answer 3

У меня как-то расшифровано по другому))

Answer 4

Но это все одно и тоже :)

Answer 5

Спасибо большое=)

Answer 6

$sqrt[3]{x+5} + sqrt[3]{x+6} - sqrt[3]{2x+11} =0$
Пусть $sqrt[3]{x+6} =a;$  $sqrt[3]{x+5} =b$  $sqrt[3]{2x+11} =c$
Имеем
$b+a-c=0$
Каждое заменную подставим
$left { {{sqrt[3]{x+6 }=a} atop { sqrt[3]{x+5}=b }}atop { sqrt[3]{2x+11}=c} right. to left { {{x+6=a^3} atop {x+5=b^3}}atop {2x+11=c^3}} right.$
Также выражаем а
$b+a-c=0to a=-b+c$
Подставим
$left { {{x+6=(-b+c)^3} atop {x+5=b^3}}atop {2x+11=c^3}} right.$
Из уравнения 2 выразим переменную х
$left { {{x+6=(-b+c)^3} atop {x=b^3-5}}atop {2x+11=c^3}right.$
Также подставим вместо х
$left { {{(b^3-5)+6=(-b+c)^3} atop {x=b^3-5}}atop {2(b^3-5)+11=c^3} right. to left { {{b^3+1=-(b-c)^3} atop {2b^3+1=c^3}}atop {x=b^3-5} right. to left { {{2b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+1=0} atop {x=b^3-5}}atop {2b^3-c^3+1=0} right.$
Имеем
$left { {{2b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+1-(2b^3-c^3+1)=0} atop {x=b^3-5}}atop {2b^3-c^3+1=0}right.$
Имеем уравнение
$-3b^2c+3bc^2=0 \ -3*0c+0=0 to2b neq 0 \ -3 frac{c}{b} +3 (frac{c}{b} )^2=0$
Пусть $frac{c}{b} =t$
$-3t+3t^2=0|:(-3) \ t(t-1)=0 \ t_1=0 \ t_2=1$
Имеем что $left[begin{array}{ccc}c=0;\c=b\b=0end{array}right$
Если c=0
$2b^3+1=0 \ b^3=- frac{1}{2} \ b=- frac{ sqrt[3]{4} }{2} to x=(- frac{ sqrt[3]{4} }{2} )^3-5= -frac{11}{2}$
Если c=b
$2b^3-c^3+1=0 to 2c^3-c^3+1=0 \ c^3+1=0 \ c=-1 \ x=c^3-5 to x=-6$
Если b=0
$2*0-c^3+1=0 \ -c^3+1 to c=1 \ x=-5$

Ответ: $x=- frac{11}{2} ;x=-6;x=-5$