Question

Помогите решить очень нужно

Answer 1

Попробую решить.
Натуральное число - это целое положительное число (1, 2, 3, ...)
Чтобы дробь была натуральным числом, необходимо чтобы частное являлось целым положительным числом. Т.е. чтобы многочлен $n^{3}-n^{2}-4n+9$ делился на $n-2$ нацело.

Разделим в столбик, получим:
$frac{n^{3}-n^{2}-4n+9}{n-2}=(n^{2}+n-2)+ frac{5}{n-2}$ - чтобы это выражение являлось натуральным числом, необходимо чтобы дробь была натуральным числом, а для этого:
Либо знаменатель дроби равен 5, тогда: $n-2=5, n=7$,
Либо знаменатель дроби равен 1, тогда: $n-2=1, n=3$,
Либо знаменатель дроби равен -1, тогда: $n-2=-1, n=1$

Проверка:
При $n=7$, $frac{7^{3}-7^{2}-4*7+9}{5}= frac{275}{5}=55$ - натуральное число.
При $n=3$, $frac{3^{3}-3^{2}-4*3+9}{1}=15$ - натуральное число.
При $n=1$, $frac{(-1)^{3}-(-1)^{2}+4+9}{-1}= frac{-1-1+4+9}{-1}<0$ - не натуральное число, значит n=1 - не является решением.

Ответ: при n=3, n=7