Question

Пусть n - натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8+1, либо n8-1 делится на 17.

Answer 1

пусть число n=17m+k   k<17 (остаток)
n^8=(17m+k)^8
Очевидно  что все степени бинома помножены на 17m (то  делятся на 17) кроме  последнего которое равно k^8 тогда остаток  от деления
n^8  на 17 равен остатку k^8  на 17   причем  k<17  таким  образом достаточно
Достаточно проанализировать  остатки от деления
1^8  2^8........16^8 (всего 16 примеров) Можно заметить  что попадались только остатки 
+-1  а  значит  любое число  не  делящееся на 17  в восьмой степени  при делении  на 17   дает остатки +-1  тогда  либо n^8-1  либо  n^8+1   делится на 17