Question

Решить с объяснением.
1)√(x+2*√(x-3)-2)+√(x-2*√(x-3)-2)=x-3
2)√(x+5-4*√(x+1))+√(x+10-6*√(x+1))=1
3)√(2x+1)+√(x-3)=√2

Answer 1

Решить с объяснением.
1)√(x+2*√(x-3)-2)+√(x-2*√(x-3)-2)=x-3
2)√(x+5-4*√(x+1))+√(x+10-6*√(x+1))=1
3)√(2x+1)+√(x-3)=√2
Решение:
1)$sqrt{x+2sqrt{x-3}-2}+sqrt{x-2sqrt{x-3}-2}=x-3$

$sqrt{x-3+2sqrt{x-3}+1}+sqrt{x-3-2sqrt{x-3}+1}=x-3$

$sqrt{(sqrt{x-3})^{2}+2sqrt{x-3}+1}+sqrt{(sqrt{x-3})^{2}-2sqrt{x-3}+1}=x-3$

$sqrt{(sqrt{x-3}+1)^{2}}+sqrt{(sqrt{x-3}-1)^{2}}=x-3$

$sqrt{x-3}+1+|sqrt{x-3}-1|=x-3$

ОДЗ уравнения х≥3
если √(x-3)≥1 или x-3≥ 1 или х≥4

$sqrt{x-3}+1+sqrt{x-3}-1=x-3$

$2sqrt{x-3}=x-3$

4(x-3)=x²-6x+9
x²-10x + 21=0
D=100-4*21=100-84=16
x1=(10-4)/2=3(не подходит так как x≥4)
x2=(10+4)/2=7
если 0≤√(x-3)≤1 или 0≤x-3≤ 1 или 3≤х≤4

$sqrt{x-3}+1-sqrt{x-3}+1=x-3$

2=x-3
 x=5(не подходит)
Ответ:7

2)$sqrt{x+5-4sqrt{x+1}}+sqrt{x+10-6sqrt{x+1}}=1$

$sqrt{x+1-2*2sqrt{x+1}+4}+sqrt{x+1-2*3sqrt{x+1}+9}=1$

$sqrt{(sqrt{x+1})^{2}-2*2sqrt{x+1}+2^{2}}+sqrt{(sqrt{x+1})^{2}-2*3sqrt{x+1}+3^{2}}=1$

$sqrt{(sqrt{x+1}-2)^{2}}+sqrt{(sqrt{x+1}-3)^{2}}=1$

$|sqrt{x+1}-2|+|sqrt{x+1}-3|=1$

ОДЗ х≥-1
если 0≤√(x+1)≤2 или 0≤x+1≤4 или -1≤х≤3

$-sqrt{x+1}+2-sqrt{x+1}+3=1$

$sqrt{x+1}=2$

x+1=4
х=3
если 2≤√(x+1)≤3 или 4≤x+1≤9 или 3≤х≤8

$sqrt{x+1}-2-sqrt{x+1}+3=1$

1=1
при всех значениях х принадлежащих [3;8]
если √(x+1)≥3 или x+1≥9 или х≥8

$sqrt{x+1}-2+sqrt{x+1}-3=1$

$2sqrt{x+1}=6$

$sqrt{x+1}=3$

x+1=9
x=8
Ответ: [3;8]

3)$sqrt{2x+1}+sqrt{x-1}=sqrt{2}$

ОДЗ х≥1

$sqrt{2x+1}=sqrt{2}-sqrt{x-1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат

$2x+1 = 2 - 2sqrt{2}sqrt{x-1}+x-1$

$2sqrt{2}sqrt{x-1}=-x-2$

В области ОДЗ при х≥1 правая часть уравнения отрицательна
Поэтому уравнение не имеет решения