Question

Найдите все пары натуральных чисел х,у таких, что 2х+1 делится на у и 2у+1 делится на х

Answer 1

Решение, построенное на другой идее. Начнем с глупого утверждения.

Глупое утверждение. x и y взаимно просты.
Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1.

Теперь можно перемножить сравнения, получим, что
(2x + 1)(2y + 1) делится на xy.
4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy
2(x + y) + 1 делится на xy

Из последнего следует, что 2(x + y) + 1 >= xy
xy - 2x - 2y <= 1
(x - 2)(y - 2) <= 5

Пусть для определенности x >= y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи:
1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3.
2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2.
3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3.
4) y >= 4. Тогда x - 2 <= 5/2, т.е. x <= 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x.

Ответ. (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 7), (7, 3).

Answer 2

Хорошая идея. А у меня какой то кондовый путь. У вас короче получилось вы молодец!!!

Answer 3

У меня возникла просто блестящая идея а что если решить графически систему: 2x+1>y 2y+1>x И посмотреть в полученной закрашенной области и выделить в нец целые числа!!!! И рассматривать все варианты.

Answer 4

А как получилось бы ограничение сверху на max(x,y)? Оба неравенства вместе зададут неограниченный кусок плоскости