Question

В четырехугольник,стороны которого 4,3,2,1, вписана окружность и около него описана окружность.Найдите меньшую диагональ четырехугольника

Answer 1

Четырехугольник описанный вокруг окружанности тогда и только тогда когда суммы противоположных его сторон равны,
так как очевидно 2+3=1+4
то
 2 и3, 1 и 4 - пары противоположны сторон
Пусть не ограничивая общности a=1,b=2,c=4, d=3

Так как четырехугольник описанный - он выпуклый.
По первой и второй теореме Птолемея для вписанного четырехугольника
$ef=ac+bd=1*4+2*3=4+6=10$
$frac{e}{f}=frac{ab+dc}{ad+bc}=frac{1*2+3*4}{1*3+2*4}=frac{14}{9}$
$e=frac{14}{9}f$
$f=frac{9}{14}e$ - меньшая диагональ
$frac{9}{14}f^2=10$
$f^2=frac{140}{9}$
$f>0; f=frac{2}{3}sqrt{35}$