Question

Через середину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая катет AC в точке D, а продолжение катета BC в точке F. Известно, что AD=2, BF=3 и AC=2BC. Найти стороны треугольника ABC.

Answer 1

Пусть K – середина гипотенузы AB . Обозначим AK=KB=x , <ABC = α . Через точку D параллельной BC проведём прямую до пересечения с отрезком AB в точке P . Тогда < APD = <ABC = α,
 tg  α=AC/BC=2BC/BC=2
 tg  α=AD/PD, PD=AD/tg α=2/2=1
AP=√(AD²+PD²)=√4+1=√5
Треугольник KPD подобен треугольнику KBF с коэффициентом PD/BF=1/3 .
Поэтому PK/BK=1/3. 
PK=KB-(AB-AP)=x-2x+√5=√5-x
(√5-x)/x=1/3
3(√5-x)=x
4x=3√5
x=3√5/4
AB=2x=3√5/2.
Треугольник APD подобен треугольнику ABC с коэффициентомAP/AB=√5*2/3√5=2/3
AD/AC=2/3, AC=3AD/2=3*2/2=3
PD/BC=2/3, BC=3PD/2=3*1/2=3/2=1.5

Answer 2

а как ты решил через Менелая?