Question

Точка  M лежит  внутри  равностороннего  треугольника  со  стороной  8 корень из 3.Известно,  что  расстояния  от  точки  M до  двух  сторон  данного  треугольника  равны 5. На каком расстоянии лежит точка  M от третьей стороны?

Answer 1

1 способ.  Пусть по условию задачи: треугольник АВС – правильный, МК, МР, МЕ – расстояния до сторон треугольника (соответственно до АВ, ВС, АС). МК=МР=5. АВ=ВС=АС=8√3
Надо найти расстояние МЕ.
Если треугольник АВС – правильный, то Sabc=AB²*√3/4=(8√3)²*√3/4=48√3
Площадь треугольника равна сумме площадей 3 треугольников АВМ, ВСМ и АСМ: Sabc=Sabm+Sbcm+Sacm
Sacm=Sabc-Sabm-Sbcm
Sabm=Sbcm (стороны и высоты треугольников равны, то их площади тоже равны)
Sacm=Sabc-2Sabm=48√3-1/2*АВ*МК=48√3-2*1/2*8√3*5=8√3
Sacm=1/2*АС*МЕ, 
МЕ=2Sacm/АС=2*8√3/8√3=2

2 способ 
Sabc=Sabm+Sbcm+Sacm
1/2*АВ*h=1/2*АВ*МК+1/2*ВС*МР+1/2*АС*МЕ
т.к. стороны треугольника равны АВ=АС=ВС, то
АВ*h=АВ*МК+АВ*МР+АВ*МЕ
h=МК+МР+МЕ
Формула длины высоты равностороннего треугольника
h=а√3/2=8√3*√3/2=12
МЕ=h-МК-МР=12-5-5=2