Question

$arctg(x+frac{1}{2})+arctg(x-frac{1}{2})=frac{ pi }{4}$

Answer 1

Сначало выведем форрмулу, для суммы арктангенсов
пусть $a$ и $b$ аргументы арктангенсов
и $alpha$ и $beta$ соотвествующие им углы
и их сумма будет $alpha+beta=psi$
Вывод:
$a, b;\ alpha=arctan(a); beta=arctan(b);\ alpha+beta=psi=arctan(tan(psi))=arctan(tan(alpha+beta));\ tan(alpha+beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha+beta)}=frac{sinalphacdotcosbeta+sinbetacdotcosalpha}{cosalphacdotcosbeta-sinalphacdotsinbeta}=frac{sinalphacdotcosbeta+sinbetacdotcosalpha}{cosalphacdotcosbeta-sinalphacdotsinbeta}cdot1=$
$=frac{sinalphacdotcosbeta+sinbetacdotcosalpha}{cosalphacdotcosbeta-sinalphacdotsinbeta}cdotfrac{frac{1}{cosalphacdotcosbeta}}{frac{1}{cosalphacdotcosbeta}}=frac{frac{sinalphacdotcosbeta+sinbetacdotcosalpha}{cosalphacdotcosbeta}}{frac{cosalphacdotcosbeta-sinalphacdotsinbeta}{cosalphacdotcosbeta}}=frac{frac{sinalpha}{cosalpha}+frac{sinbeta}{cosbeta}}{1-frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{sinbeta}{cosbeta}}=$
$=frac{tanalpha+tanbeta}{1-tanalphacdottanbeta};\ tan(alpha+beta)=frac{tanalpha+tanbeta}{1-tanalphacdottanbeta};\ arctan a+arctan b=alpha+beta=psi=arctan(tan(psi))=\ =arctan(tan(alpha+beta))=arctanleft(frac{tanalpha+tanbeta}{1-tanalphacdottanbeta}right)=\ =arctanleft(frac{tan(arctan(a))+tan(arctan(b))}{1-tan(arctan(alpha))cdottan(arctan(beta))}right)=arctanleft(frac{a+b}{1-acdot b}right);$
$arctanleft(aright)+arctanleft(bright)=arctanleft(frac{a+b}{1-acdot b}right);$
у нас:
$a=x+frac12;\ b=x-frac12;$
решим наше уравнение
$arctan(x+frac12)+arctan(x-frac12)=fracpi4;\ arctanleft(frac{x+frac12+x-frac12}{1-(x+frac12)cdot(x-frac12)}right)=fracpi4;\ arctanleft(frac{2x}{1-x^2+frac14}right)=fracpi4;\ arctanleft(frac{2x}{frac54-x^2}right)=fracpi4;\ tanleft(arctanleft(frac{2x}{frac54-x^2}right)right)=tanfracpi4;\ frac{2x}{frac54-x^2}=1;$
$frac{2x}{frac54-x^2}-1=0;\ frac{2x-left(frac54-x^2right)}{frac54-x^2}=0;\ ||||||frac54-x^2neq0;==>xneqpmfrac{sqrt{5}}{2}||||||\ 2x-frac54+x^2=0;\ 4x^2+8x-5=0;\ D=8^2+4cdot4cdot5=64+80=144=left(pm12right)^2;\ x_1=frac{-8-12}{2cdot4}=frac{-20}{8}=-frac{5}{2};\ x_2=frac{-8+12}{2cdot4}=frac{4}{8}=frac12;$
подставим и проверим:
$x=-frac52:\ arctanleft(-frac52+frac12right)+arctanleft(-frac{5}{2}-frac12right)=arctanleft(-frac42right)+arctanleft(-frac62right)=\ =arctanleft(-2right)+arctanleft(-3right)=-arctan2-arctan3<0neqfracpi4;\ x=frac12;\ arctanleft(frac12+frac12right)+arctanleft(frac12-frac12right)=arctan1+arctan0=\ =fracpi4+0=fracpi4$
Ответ: $x=frac12$