Question

Помогите решить интеграл$frac{ sqrt{1- x^{2} } }{ x^{2} }$

Answer 1

С помощью тригонометрической подстановки:
х=sint,  dx= cost dt

$intlimits { frac{ sqrt{1- x^{2} } }{ x^{2} } } , dx = intlimits { frac{ sqrt{1-sin ^{2}t } }{sin ^{2}t } } , costdt =$

$= intlimits { frac{cos ^{2} t}{sin ^{2} t} } , dt = intlimits { frac{1-sin ^{2}t }{sin ^{2}t } } , dt =$

$= intlimits{ (frac{1}{sin ^{2}t }-1) } , dt=-ctgt-t+C=$

Возращаемся к переменной х:
sint=x,  cost=√(1-sin²t)=√(1-x²)  ⇒ctgt=cost/sin t= √(1-x²)/х ,  t=arcsin x

Ответ. $- frac{ sqrt{1- x^{2} } }{x}-arcsinx+C$